3-79C Consider two 5 -cm-diameter spherical balls-one made of aluminum, the other of iron-submerged in water. Will the buoyant forces acting on these two balls be the same or different? Explain.

Passo 1

O enunciado apresenta duas bolas esféricas, uma de alumínio e outra de ferro, ambas com diâmetro de 5\\ \text{cm} e imersas em água. A questão central é se as forças de empuxo atuantes em cada bola serão iguais ou diferentes. As informações relevantes fornecidas são: (i) diâmetro idêntico das bolas ( 5\\ \text{cm}); (ii) imersão em água; (iii) materiais distintos (alumínio e ferro), implicando diferentes densidades/massas.

Passo 2

O princípio de Arquimedes é fundamental para resolver este problema. Ele estabelece que a força de empuxo é equivalente ao peso do fluido deslocado, expresso pela fórmula:
F_{b} = \rho_{\text{fluido}}\,V_{\text{deslocado}}\,g.
Onde:
  • F_{b} é a força de empuxo (N).
  • \rho_{\text{fluido}} é a densidade do fluido (água) em \text{kg}/\text{m}^3.
  • V_{\text{deslocado}} é o volume de fluido deslocado pelo corpo, em \text{m}^3.
  • g é a aceleração da gravidade, considerada como g=9,8\\ \text{m/s}^2.
É crucial notar que o empuxo depende exclusivamente da densidade do fluido, do volume deslocado e da aceleração da gravidade g. A densidade do material do objeto não influencia o empuxo. Portanto, corpos com o mesmo volume, imersos no mesmo fluido, experimentarão o mesmo empuxo, desde que o volume deslocado seja idêntico.

Passo 3

Para calcular o volume de cada bola, utilizamos a fórmula do volume de uma esfera:
V = \frac{4}{3}\pi r^{3}.
Dado que o diâmetro é 5\\ \text{cm}, o raio é:
r = \frac{5\\ \text{cm}}{2} = 2,5\\ \text{cm} = 0,025\\ \text{m}.
Calculando r^{3}:
r^{3} = (0,025)^{3} = 0,000015625 = 1,5625\times 10^{-5}\\ \text{m}^{3}.
Assim, o volume é:
V = \frac{4}{3}\pi (1,5625\times 10^{-5}) \approx 4{,}18879\times 1{,}5625\times 10^{-5} \approx 6{,}544\times 10^{-5}\\ \text{m}^{3}.
Cada bola tem um volume de aproximadamente V\approx 6{,}544\times 10^{-5}\\ \text{m}^{3}.

Passo 4

Como ambas as bolas possuem o mesmo diâmetro, seus volumes V são iguais. Estando ambas totalmente imersas na água, o volume de água deslocado por cada uma corresponde a V. Aplicando o princípio de Arquimedes, e considerando que ambas estão imersas no mesmo fluido (água), o empuxo sobre ambas as bolas é idêntico:
F_{b,\text{alumínio}} = \rho_{\text{água}}\,V\,g = F_{b,\text{ferro}}.íá
Portanto, as forças de empuxo são iguais.

Passo 5

Numericamente, o empuxo pode ser calculado utilizando \rho_{\text{água}}=1000\\ \text{kg}/\text{m}^{3}á e g=9{,}8\\ \text{m/s}^{2}. A massa da água deslocada é:
m_{\text{água}}=\rho_{\text{água}}V = 1000\times 6{,}544\times 10^{-5} \approx 0{,}06545\\ \text{kg}.áá
O empuxo (peso da água deslocada) é:
F_{b}=m_{\text{água}}\,g \approx 0{,}06545\times 9{,}8 \approx 0{,}641\\ \text{N}.á
Arredondando, cada bola experimenta um empuxo de aproximadamente 0{,}64\\ \text{N}.

Passo 6

É importante notar que, embora o empuxo seja o mesmo para ambas as bolas devido ao mesmo volume imerso, o comportamento de flutuação pode ser diferente. A bola de ferro, com maior densidade, pode afundar, enquanto a de alumínio pode flutuar parcialmente. Nesses casos, a porção imersa e, consequentemente, o empuxo se ajustam até que o empuxo se iguale ao peso, permitindo que o corpo flutue. No entanto, se ambas as bolas estão totalmente imersas, o empuxo sobre elas é o mesmo.

Resposta

Serão iguais; cada bola sofre um empuxo de aproximadamente 0{,}64\\ \text{N}.

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