78 A área da região limitada pelos gráficos das funções f(x)=x^{2}-x e g(x)=2 x^{3} e pelas retas x=-1 e x=1 é
a) 1 / 4
b) 3 / 4
c) 1
d) 5 / 4
e) 2

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelos gráficos de f(x)=x^{2}-x e de g(x)=2x^{3} entre as retas verticais x=-1 e x=1. O conteúdo envolvido é cálculo de integrais definidas e área entre curvas.

Passo 2

Primeiro, achamos onde as curvas se intersectam, resolvendo
x^{2}-x = 2x^{3}.
Isso dá
2x^{3}-x^{2}+x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x\,(2x^{2}-x+1)=0.
Como 2x^{2}-x+1 não zera (discriminante negativo), só há interseção real em x=0.

Passo 3

Para saber qual função é a “superior” em cada trecho, comparamos valores em pontos:
  • Em x=-1: f(-1)=1+1=2 e g(-1)=-2, logo f>g em [-1,0].
  • Em x=1: f(1)=0 e g(1)=2, logo g>f em [0,1].

Passo 4

A área procurada é
\int_{-1}^{0}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx \;+\;\int_{0}^{1}\bigl(g(x)-f(x)\bigr)\,dx.

Passo 5

Calculemos
f(x)-g(x)=x^{2}-x-2x^{3},
logo
\int_{-1}^{0}(x^{2}-x-2x^{3})\,dx =\Bigl[\tfrac{x^{3}}{3}-\tfrac{x^{2}}{2}-\tfrac{x^{4}}{2}\Bigr]_{-1}^{0} =0-\bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr) =\tfrac{4}{3}.

Passo 6

E
g(x)-f(x)=2x^{3}-x^{2}+x,
então
\int_{0}^{1}(2x^{3}-x^{2}+x)\,dx =\Bigl[\tfrac{x^{4}}{2}-\tfrac{x^{3}}{3}+\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{1} =1-\tfrac{1}{3} =\tfrac{2}{3}.

Passo 7

Somando as duas partes temos
\tfrac{4}{3}+\tfrac{2}{3}=2.

Resposta

2

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