77 O valor da integral \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \operatorname{tg}(x) d x é
a) \frac{\ln 3}{2}
b) \frac{\sqrt{3}}{2}
c) \frac{\sqrt{3} \ln 3}{2}
d) \sqrt{3}
e) \sqrt{3} \ln 3
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
\int_{\pi/6}^{\pi/3}\tan(x)\,dx
Isso envolve o conteúdo de primitivação de funções trigonométricas, em particular a antiderivada de \tan(x).
Passo 2
Para encontrar a antiderivada de \tan(x), escrevemos \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)} e usamos a substituição u=\cos(x), du=-\sin(x)\,dx. Assim,
\int \tan(x)\,dx = \int \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\,dx = -\int \frac{du}{u} = -\ln\bigl|u\bigr| + C = -\ln\bigl|\cos(x)\bigr| + C.
Passo 3
Aplicando o teorema fundamental do cálculo na antiderivada obtida, temos