77 O valor da integral \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \operatorname{tg}(x) d x é
a) \frac{\ln 3}{2}
b) \frac{\sqrt{3}}{2}
c) \frac{\sqrt{3} \ln 3}{2}
d) \sqrt{3}
e) \sqrt{3} \ln 3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{\pi/6}^{\pi/3}\tan(x)\,dx
Isso envolve o conteúdo de primitivação de funções trigonométricas, em particular a antiderivada de \tan(x).

Passo 2

Para encontrar a antiderivada de \tan(x), escrevemos \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)} e usamos a substituição u=\cos(x), du=-\sin(x)\,dx. Assim,
\int \tan(x)\,dx = \int \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\,dx = -\int \frac{du}{u} = -\ln\bigl|u\bigr| + C = -\ln\bigl|\cos(x)\bigr| + C.

Passo 3

Aplicando o teorema fundamental do cálculo na antiderivada obtida, temos
\int_{\pi/6}^{\pi/3}\tan(x)\,dx = \Bigl[-\ln\bigl|\cos(x)\bigr|\Bigr]_{\pi/6}^{\pi/3} = -\ln\bigl(\cos(\tfrac{\pi}{3})\bigr) + \ln\bigl(\cos(\tfrac{\pi}{6})\bigr).

Passo 4

Sabendo que \cos(\tfrac{\pi}{3})=\tfrac12 e \cos(\tfrac{\pi}{6})=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, obtemos
-\ln\bigl(\tfrac12\bigr) + \ln\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr) = \ln\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}/2}{1/2}\bigr) = \ln\bigl(\sqrt{3}\bigr) = \tfrac12\ln(3).

Resposta

a) \tfrac{\ln 3}{2}

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