2-74 Some non-Newtonian fluids behave as a Bingham plastic for which shear stress can be expressed as
. For laminar flow of a Bingham plastic in a horizontal pipe of radius
, the velocity profile is given as
, where
is the constant pressure drop along the pipe per unit length,
is the dynamic viscosity,
is the radial distance from the centerline, and
is the yield stress of Bingham plastic. Determine (a) the shear stress at the pipe wall and (b) the drag force acting on a pipe section of length
.
Passo 1
O enunciado dá a expressão da velocidade radial em escoamento laminar de um Bingham plastic num tubo horizontal de raio
e comprimento considerada
:
As quantidades fornecidas e seus significados:
-
: queda de pressão por unidade de comprimento ao longo do tubo (valor constante). -
: viscosidade dinâmica. -
: distância radial do centro do tubo ( ). -
: tensão de escoamento (yield stress) do Bingham plastic.
O que o enunciado pede:
(a) A tensão de cisalhamento na parede do tubo ( ).
(b) A força de arrasto (força de cisalhamento total) atuando na superfície lateral de uma seção de tubo de comprimento .
(a) A tensão de cisalhamento na parede do tubo (
(b) A força de arrasto (força de cisalhamento total) atuando na superfície lateral de uma seção de tubo de comprimento
Observação: o problema fornece também a lei constitutiva (no enunciado inicial):
. Usaremos essa relação para obter a tensão de cisalhamento a partir do gradiente de velocidade.
Passo 2
Vamos calcular o gradiente radial da velocidade, isto é,
. Partimos da expressão dada de
. Derivando termo a termo em relação a
:
Termo 1:
Termo 2:
Somando os dois resultados obtemos o gradiente:
Explicando rápido: derivamos
para obter
,
é constante (derivada zero), e o termo linear em
dá constante
.
Passo 3
Agora aplicamos a lei constitutiva dada para obter a tensão de cisalhamento em qualquer raio
:
Substituindo
obtida no passo anterior:
Multiplicando e simplificando os termos:
Comentário didático: note que o termo
simplifica para
. Assim a tensão varia linearmente com
(pela contribuição da queda de pressão) e tem um deslocamento por
.
Passo 4
Avaliaremos agora a tensão na parede, isto é em
. Substituindo
em
:
Interpretação curta: esse é o valor da tensão de cisalhamento atuando na superfície interna do tubo (magnitude). Dependendo da convenção de sinal para
(queda de pressão), o sinal poderá indicar direção; aqui fornecemos a expressão algébrica para a magnitude com os sinais mantidos conforme
do enunciado.
Passo 5
Agora calculamos a força de arrasto (força de cisalhamento total) na superfície lateral de um trecho de tubo de comprimento
.
A área lateral (área de contato fluido–parede) de um cilindro de raio
e comprimento
é
A força de arrasto (magnitude) é a tensão na parede multiplicada por essa área:
Substituindo
da Passo 4:
Agora distribuímos e simplificamos termo a termo.
Primeiro termo:
Segundo termo:
Somando-os,
Observação física: o primeiro termo
é precisamente a força de pressão (diferença de pressão vezes a área da seção) que impulsiona o fluido; o segundo termo
é a contribuição extra de arrasto devido ao yield stress ao longo da parede.
Resposta
(a)
(b)
(b)