2-74 Some non-Newtonian fluids behave as a Bingham plastic for which shear stress can be expressed as \tau=\tau_{y}+ \mu(d u / d r). For laminar flow of a Bingham plastic in a horizontal pipe of radius R, the velocity profile is given as u(r)= (\Delta P / 4 \mu L)\left(r^{2}-R^{2}\right)+\left(\tau_{y} / \mu\right)(r-R), where \Delta P / L is the constant pressure drop along the pipe per unit length, \mu is the dynamic viscosity, r is the radial distance from the centerline, and \tau_{y} is the yield stress of Bingham plastic. Determine (a) the shear stress at the pipe wall and (b) the drag force acting on a pipe section of length L.

Passo 1

O enunciado dá a expressão da velocidade radial em escoamento laminar de um Bingham plastic num tubo horizontal de raio R e comprimento considerada L:
u(r)=\left(\frac{\Delta P}{4\mu L}\right)\left(r^{2}-R^{2}\right)+\left(\frac{\tau_{y}}{\mu}\right)(r-R).
As quantidades fornecidas e seus significados:
  • \Delta P / L: queda de pressão por unidade de comprimento ao longo do tubo (valor constante).
  • \mu: viscosidade dinâmica.
  • r: distância radial do centro do tubo ( 0\le r\le R ).
  • \tau_{y}: tensão de escoamento (yield stress) do Bingham plastic.
O que o enunciado pede:
(a) A tensão de cisalhamento na parede do tubo ( r=R).
(b) A força de arrasto (força de cisalhamento total) atuando na superfície lateral de uma seção de tubo de comprimento L.
Observação: o problema fornece também a lei constitutiva (no enunciado inicial): \tau = \tau_{y} + \mu\, (du/dr). Usaremos essa relação para obter a tensão de cisalhamento a partir do gradiente de velocidade.

Passo 2

Vamos calcular o gradiente radial da velocidade, isto é, du/dr. Partimos da expressão dada de u(r). Derivando termo a termo em relação a r:
Termo 1:
\frac{d}{dr}\left[\left(\frac{\Delta P}{4\mu L}\right)(r^{2}-R^{2})\right] =\left(\frac{\Delta P}{4\mu L}\right)\cdot 2r =\left(\frac{\Delta P}{2\mu L}\right)r.
Termo 2:
\frac{d}{dr}\left[\left(\frac{\tau_{y}}{\mu}\right)(r-R)\right] =\left(\frac{\tau_{y}}{\mu}\right).
Somando os dois resultados obtemos o gradiente:
\frac{du}{dr}=\left(\frac{\Delta P}{2\mu L}\right)r+\left(\frac{\tau_{y}}{\mu}\right).
Explicando rápido: derivamos r^{2} para obter 2r, R^{2} é constante (derivada zero), e o termo linear em r dá constante \tau_{y}/\mu.

Passo 3

Agora aplicamos a lei constitutiva dada para obter a tensão de cisalhamento em qualquer raio r:
\tau(r)=\tau_{y}+\mu\frac{du}{dr}.
Substituindo \dfrac{du}{dr} obtida no passo anterior:
\tau(r)=\tau_{y}+\mu\left[\left(\frac{\Delta P}{2\mu L}\right)r+\left(\frac{\tau_{y}}{\mu}\right)\right].
Multiplicando e simplificando os termos:
\tau(r)=\tau_{y}+\left(\frac{\Delta P}{2L}\right)r+\tau_{y} =2\tau_{y}+\left(\frac{\Delta P}{2L}\right)r.
Comentário didático: note que o termo \mu\cdot(\tau_{y}/\mu) simplifica para \tau_{y}. Assim a tensão varia linearmente com r (pela contribuição da queda de pressão) e tem um deslocamento por 2\tau_{y}.

Passo 4

Avaliaremos agora a tensão na parede, isto é em r=R. Substituindo r=R em \tau(r):
\tau(R)=2\tau_{y}+\left(\frac{\Delta P}{2L}\right)R.
Interpretação curta: esse é o valor da tensão de cisalhamento atuando na superfície interna do tubo (magnitude). Dependendo da convenção de sinal para \Delta P/L (queda de pressão), o sinal poderá indicar direção; aqui fornecemos a expressão algébrica para a magnitude com os sinais mantidos conforme \Delta P/L do enunciado.

Passo 5

Agora calculamos a força de arrasto (força de cisalhamento total) na superfície lateral de um trecho de tubo de comprimento L.
A área lateral (área de contato fluido–parede) de um cilindro de raio R e comprimento L é
A_{\text{lateral}}=2\pi R L.
A força de arrasto (magnitude) é a tensão na parede multiplicada por essa área:
F=\tau(R)\cdot A_{\text{lateral}}.
Substituindo \tau(R) da Passo 4:
F=\left[2\tau_{y}+\left(\frac{\Delta P}{2L}\right)R\right]\cdot(2\pi R L).
Agora distribuímos e simplificamos termo a termo.
Primeiro termo:
2\tau_{y}\cdot 2\pi R L =4\pi R L \tau_{y}.
Segundo termo:
\left(\frac{\Delta P}{2L}\right)R \cdot 2\pi R L = \left(\frac{\Delta P}{2L}\right)\cdot 2\pi R^{2} L = \pi R^{2}\Delta P.
Somando-os,
F=\pi R^{2}\Delta P + 4\pi R L \tau_{y}.
Observação física: o primeiro termo \pi R^{2}\Delta P é precisamente a força de pressão (diferença de pressão vezes a área da seção) que impulsiona o fluido; o segundo termo 4\pi R L \tau_{y} é a contribuição extra de arrasto devido ao yield stress ao longo da parede.

Resposta

(a) \tau(R)=2\tau_{y}+\displaystyle\left(\frac{\Delta P}{2L}\right)R
(b) F=\displaystyle\pi R^{2}\Delta P + 4\pi R L \tau_{y}

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