4.78. Os dois segmentos de haste circular, um de alumínio e o outro de cobre, estão presos às paredes rígidas de modo tal que há uma folga de 0,2 \mathrm{~mm} entre eles quando T_{1}=15^{\circ} \mathrm{C}. Cada haste tem diâmetro de 30 \mathrm{~mm}, \alpha_{\mathrm{al}}=24\left(10^{-6}\right) /{ }^{\circ} \mathrm{C}, E_{\mathrm{al}}=70 \mathrm{GPa}, \alpha_{\text {cobre }}=17\left(10^{-6}\right) /{ }^{\circ} \mathrm{C}, E_{\text {cobre }}=126 \mathrm{GPa}. Determine a tensão normal média em cada haste se T_{2}=150^{\circ} \mathrm{C}. Calcule também o novo comprimento do segmento de alumínio.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a tensão normal média em cada haste (alumínio e cobre) quando a temperatura passa de T_{1}=15^\circ\mathrm{C} para T_{2}=150^\circ\mathrm{C}.
  • Calcular o novo comprimento do segmento de alumínio.
Dados fornecidos (peguei os comprimentos, a folga e o diâmetro da imagem):
  • Folga inicial: g=0{,}2\\ \mathrm{mm} (peguei da imagem).
  • Comprimento inicial do cobre: L_{\mathrm{cu}}=100\\ \mathrm{mm} (peguei da imagem).
  • Comprimento inicial do alumínio: L_{\mathrm{al}}=200\\ \mathrm{mm} (peguei da imagem).
  • Diâmetro de ambas as hastes: d=30\\ \mathrm{mm} (peguei da imagem).
  • Coeficientes de dilatação linear:
    • \alpha_{\mathrm{al}}=24\times10^{-6}\\ /\!{^\circ\mathrm{C}}.
    • \alpha_{\mathrm{cu}}=17\times10^{-6}\\ /\!{^\circ\mathrm{C}}.
  • Módulos de Young:
    • E_{\mathrm{al}}=70\\ \mathrm{GPa}=70{,}000\\ \mathrm{N/mm^2}.
    • E_{\mathrm{cu}}=126\\ \mathrm{GPa}=126{,}000\\ \mathrm{N/mm^2}.
  • Variação de temperatura: \Delta T = T_{2}-T_{1}=150-15=135^\circ\mathrm{C}.
O que vou usar (explicarei as fórmulas quando aplicá-las):
  • Dilatação térmica livre de cada haste: \Delta L_{\text{th}}=\alpha L \Delta T.
  • Deformação elástica axial por tensão média \sigma: \varepsilon=\dfrac{\sigma}{E} e deslocamento mecânico \Delta L_{\text{mech}}=\varepsilon L=\dfrac{\sigma L}{E}.
  • Após as hastes fecharem a folga, a soma dos alongamentos térmicos mais os encurtamentos elásticos deve igualar a folga (condição geométrica), o que permite achar \sigma.

Passo 2

Verificar se as hastes entram em contato ao aquecer (ou seja, se a dilatação total livre excede a folga).
Calcular as dilatações livres:
\Delta L_{\mathrm{al,th}}=\alpha_{\mathrm{al}} L_{\mathrm{al}} \Delta T
\Delta L_{\mathrm{cu,th}}=\alpha_{\mathrm{cu}} L_{\mathrm{cu}} \Delta T
Substituindo os números:
\Delta L_{\mathrm{al,th}}=24\times10^{-6}\cdot200\cdot135 = 0{,}648\\ \mathrm{mm},
\Delta L_{\mathrm{cu,th}}=17\times10^{-6}\cdot100\cdot135 = 0{,}2295\\ \mathrm{mm}.
Soma das dilatações livres:
\Delta L_{\text{total,th}}=\Delta L_{\mathrm{al,th}}+\Delta L_{\mathrm{cu,th}}=0{,}648+0{,}2295=0{,}8775\\ \mathrm{mm}.
Como \Delta L_{\text{total,th}}=0{,}8775\\ \mathrm{mm} > g=0{,}2\\ \mathrm{mm}, as hastes fecham a folga e então agem contra as paredes, gerando tensões.

Passo 3

Montar a equação de compatibilidade após fechar a folga (condição geométrica com paredes rígidas).
  • No estado final (após contato), a soma dos comprimentos das duas hastes deve ser igual à distância entre as paredes, que é o comprimentos iniciais mais a folga: (L_{\mathrm{cu}}+\Delta L_{\mathrm{cu,th}}+\Delta L_{\mathrm{cu,mech}}) + (L_{\mathrm{al}}+\Delta L_{\mathrm{al,th}}+\Delta L_{\mathrm{al,mech}}) = L_{\mathrm{cu}}+L_{\mathrm{al}}+g.
  • Cancelando L_{\mathrm{cu}}+L_{\mathrm{al}} em ambos os lados obtemos a condição para as variações: \Delta L_{\mathrm{cu,th}}+\Delta L_{\mathrm{al,th}}+\Delta L_{\mathrm{cu,mech}}+\Delta L_{\mathrm{al,mech}} = g.
  • As deformações elásticas são proporcionais à mesma tensão axial média \sigma (as hastes estão em série e transmitem a mesma força), então \Delta L_{\mathrm{cu,mech}}=\frac{\sigma L_{\mathrm{cu}}}{E_{\mathrm{cu}}},\qquad \Delta L_{\mathrm{al,mech}}=\frac{\sigma L_{\mathrm{al}}}{E_{\mathrm{al}}}.
  • Substituindo na condição: \Delta L_{\mathrm{cu,th}}+\Delta L_{\mathrm{al,th}}+\sigma\!\left(\frac{L_{\mathrm{cu}}}{E_{\mathrm{cu}}}+\frac{L_{\mathrm{al}}}{E_{\mathrm{al}}}\right)=g.
  • Isolando \sigma: \boxed{\displaystyle \sigma=\frac{g-(\Delta L_{\mathrm{cu,th}}+\Delta L_{\mathrm{al,th}})} {\dfrac{L_{\mathrm{cu}}}{E_{\mathrm{cu}}}+\dfrac{L_{\mathrm{al}}}{E_{\mathrm{al}}}}.}
Observação sobre sinais: o numerador será negativo (pois a soma das dilatações supera a folga), logo \sigma virá negativa — tensão de compressão. Isso faz sentido físico: as hastes ficam comprimidas pelo contato com as paredes.

Passo 4

Calcular numericamente \sigma.
Calcular o denominador:
\frac{L_{\mathrm{cu}}}{E_{\mathrm{cu}}}=\frac{100}{126000}=0{,}0007936508\\ \frac{\mathrm{mm}}{\mathrm{N/mm^2}},
\frac{L_{\mathrm{al}}}{E_{\mathrm{al}}}=\frac{200}{70000}=0{,}0028571429\\ \frac{\mathrm{mm}}{\mathrm{N/mm^2}},
\frac{L_{\mathrm{cu}}}{E_{\mathrm{cu}}}+\frac{L_{\mathrm{al}}}{E_{\mathrm{al}}}=0{,}0036507937\\ \frac{\mathrm{mm}}{\mathrm{N/mm^2}}.
Numerador:
g-(\Delta L_{\mathrm{cu,th}}+\Delta L_{\mathrm{al,th}})=0{,}2-0{,}8775=-0{,}6775\\ \mathrm{mm}.
Logo
\sigma=\frac{-0{,}6775}{0{,}0036507937}=-185{,}64\\ \mathrm{N/mm^2} \approx -185{,}6\\ \mathrm{MPa}.
Interpretação: \sigma\approx -185{,}6\\ \mathrm{MPa} (sinal negativo indica compressão). Como a área das duas hastes é a mesma, a tensão média é igual em magnitude nas duas hastes; portanto ambas estão comprimidas com \sigma\approx -185{,}6\\ \mathrm{MPa}.

Passo 5

Calcular o novo comprimento do segmento de alumínio.
Usar
L_{\mathrm{al,final}}=L_{\mathrm{al}}+\Delta L_{\mathrm{al,th}}+\Delta L_{\mathrm{al,mech}}
com \Delta L_{\mathrm{al,mech}}=\dfrac{\sigma L_{\mathrm{al}}}{E_{\mathrm{al}}}.
Substituindo:
\Delta L_{\mathrm{al,mech}}=\frac{-185{,}64\\ \mathrm{N/mm^2}\times200\\ \mathrm{mm}}{70000\\ \mathrm{N/mm^2}}=-0{,}5304\\ \mathrm{mm}.
Então
L_{\mathrm{al,final}}=200 + 0{,}648 -0{,}5304 = 200{,}1176\\ \mathrm{mm}.
Arredondando de forma prática:
L_{\mathrm{al,final}}\approx 200{,}118\\ \mathrm{mm}.

Resposta

\sigma_{\mathrm{alumínio}} = -185{,}6\\ \mathrm{MPa}í
\sigma_{\mathrm{cobre}} = -185{,}6\\ \mathrm{MPa}
L_{\mathrm{alumínio,\\ novo}} = 200{,}118\\ \mathrm{mm}í

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