4.78. Os dois segmentos de haste circular, um de alumínio e o outro de cobre, estão presos às paredes rígidas de modo tal que há uma folga de
entre eles quando
. Cada haste tem diâmetro de
,
. Determine a tensão normal média em cada haste se
. Calcule também o novo comprimento do segmento de alumínio.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar a tensão normal média em cada haste (alumínio e cobre) quando a temperatura passa de
para . - Calcular o novo comprimento do segmento de alumínio.
Dados fornecidos (peguei os comprimentos, a folga e o diâmetro da imagem):
- Folga inicial:
(peguei da imagem). - Comprimento inicial do cobre:
(peguei da imagem). - Comprimento inicial do alumínio:
(peguei da imagem). - Diâmetro de ambas as hastes:
(peguei da imagem). - Coeficientes de dilatação linear:
-
. -
.
-
- Módulos de Young:
-
. -
.
-
- Variação de temperatura:
O que vou usar (explicarei as fórmulas quando aplicá-las):
- Dilatação térmica livre de cada haste:
. - Deformação elástica axial por tensão média
: e deslocamento mecânico . - Após as hastes fecharem a folga, a soma dos alongamentos térmicos mais os encurtamentos elásticos deve igualar a folga (condição geométrica), o que permite achar
.
Passo 2
Verificar se as hastes entram em contato ao aquecer (ou seja, se a dilatação total livre excede a folga).
Calcular as dilatações livres:
Calcular as dilatações livres:
Substituindo os números:
Soma das dilatações livres:
Como
, as hastes fecham a folga e então agem contra as paredes, gerando tensões.
Passo 3
Montar a equação de compatibilidade após fechar a folga (condição geométrica com paredes rígidas).
- No estado final (após contato), a soma dos comprimentos das duas hastes deve ser igual à distância entre as paredes, que é o comprimentos iniciais mais a folga:
- Cancelando
em ambos os lados obtemos a condição para as variações: - As deformações elásticas são proporcionais à mesma tensão axial média
(as hastes estão em série e transmitem a mesma força), então - Substituindo na condição:
- Isolando
:
Observação sobre sinais: o numerador será negativo (pois a soma das dilatações supera a folga), logo
virá negativa — tensão de compressão. Isso faz sentido físico: as hastes ficam comprimidas pelo contato com as paredes.
Passo 4
Calcular numericamente
.
Calcular o denominador:
Calcular o denominador:
Numerador:
Logo
Interpretação:
(sinal negativo indica compressão). Como a área das duas hastes é a mesma, a tensão média é igual em magnitude nas duas hastes; portanto ambas estão comprimidas com
.
Passo 5
Calcular o novo comprimento do segmento de alumínio.
Usar
Usar
com
.
Substituindo:
Substituindo:
Então
Arredondando de forma prática: