- Se a viga está sujeita a um momento interno
, determine a tensão de flexão máxima na viga. A viga é feita de aço A992. Esboce a distribuição de tensão de flexão na seção transversal.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar a tensão de flexão máxima na viga (valor numérico e onde ocorre).
- Esboçar (descrever) a distribuição de tensão na seção transversal.
Dados fornecidos (peguei estes valores da imagem):
- Momento interno aplicado:
. - Geometria da seção (todas as medidas em mm, extraídas da imagem):
- largura da flange superior:
(dois lados de somando ); - espessura da flange superior:
; - espessura da alma (web):
; - altura total da seção:
; - espessura da flange inferior:
.
- largura da flange superior:
- Material: aço A992 (só para referência — para calcular tensão usamos somente
e a inércia geométrica).
Observação sobre o sentido do momento (peguei da imagem): o momento mostrado gera compressão na fibra superior e tração na fibra inferior (vou usar isso para indicar o sinal das tensões).
Passo 2
Plano de solução (resumo didático):
- Primeiro encontrar a posição do eixo neutro (centroide da área da seção) usando o método das áreas compostas.
- Calcular o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro usando o teorema dos eixos paralelos (somar os momentos de inércia de cada retângulo em torno do eixo neutro).
- Usar a fórmula da flexão simples para achar a tensão em qualquer fibra:
, onde explicarei o que é cada termo. - Determinar a máxima tensão absoluta (distância máxima
até as fibras extremas) e indicar o sinal conforme o sentido do momento.
Breve aula sobre a fórmula da flexão:
- Para vigas submetidas a um momento fletor
(assumindo seção plana que permanece plana), a tensão normal devido à flexão em uma fibra a uma distância do eixo neutro é
-
é a tensão normal (positivo = tração, negativo = compressão pela convenção que vou usar). -
é o momento interno em . -
é a distância da fibra ao eixo neutro (em ); sinal de determina se a fibra está acima ou abaixo do eixo neutro, mas para magnitude usamos . -
é o momento de inércia da área da seção em em torno do eixo neutro. - Portanto precisamos de
e da posição do eixo neutro (para achar das fibras extremas).
Passo 3
Cálculo das áreas e centroides das partes (seção composta por 3 retângulos: flange superior, alma, flange inferior). Vou medir
a partir da face superior (topo) para facilitar.
Áreas:
Centroides (distância do topo):
Passo 4
Cálculo da posição do eixo neutro (centroide da área total):
Calculemos:
Interpretação: o eixo neutro está a
abaixo do topo. Distâncias às fibras extremas:
Portanto a fibra mais afastada do eixo neutro é a fibra superior (
) — é ali que a tensão de flexão absoluta máxima ocorrerá.
Passo 5
Cálculo do momento de inércia total em torno do eixo neutro pela soma dos momentos de inércia dos retângulos (teorema dos eixos paralelos). Fórmula do momento de inércia de um retângulo em torno de seu próprio centro (eixo horizontal central):
onde
é a largura (no nosso caso, largura horizontal da peça) e
é a altura vertical do retângulo.
Para cada parte:
- Flange superior (1):
.
Distância ao eixo neutro:
.
Aplicando teorema dos eixos paralelos:
Aplicando teorema dos eixos paralelos:
Calcule
.
- Alma (2):
.
Distância:
.
Calcule
.
- Flange inferior (3):
.
Distância:
.
Calcule
.
Somando:
Passo 6
Conversão do momento para as mesmas unidades e cálculo da tensão máxima por flexão.
Converter
para
:
Fórmula da flexão (relembrando):
Tensão na fibra superior (distância
, essa será a máxima em módulo):
Calcule numerador:
.
Sinal negativo indica compressão (conforme sentido do momento na imagem).
Tensão na fibra inferior (distância
):
Mas atenção ao sinal: como definimos
positivo para baixo (a posição do eixo neutro foi medida a partir do topo), e o momento da figura causa compressão na parte superior, o resultado acima com o mesmo fórmula deu sinal negativo para fibras acima do neutro (compressão). Para a fibra inferior, numericamente obtivemos
se aplicarmos
com sinal algébrico; porém a fibra inferior está do outro lado do eixo neutro e, interpretando fisicamente, ela estará em tração de magnitude
. Ou seja:
- Fibra superior: compressão
. - Fibra inferior: tração
.
Passo 7
Esboço(descrição) da distribuição de tensão:
- A distribuição é linear através da profundidade (hipótese de seções planas permanece plana).
- No eixo neutro (a
do topo) a tensão é zero. - Acima do eixo neutro (próximo ao topo) a tensão é de compressão, crescendo linearmente até o máximo de
na fibra superior extrema. - Abaixo do eixo neutro (próximo à base) a tensão é de tração, crescendo linearmente em módulo até
na fibra inferior extrema. - Portanto o diagrama é uma linha reta passando por zero no eixo neutro, com ponta superior em compressão maior que a ponta inferior em tração (assimetria devido às diferentes espessuras das flanges).