1. Se a viga está sujeita a um momento interno M=30 \mathrm{kN} \cdot \mathrm{m}, determine a tensão de flexão máxima na viga. A viga é feita de aço A992. Esboce a distribuição de tensão de flexão na seção transversal.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a tensão de flexão máxima na viga (valor numérico e onde ocorre).
  • Esboçar (descrever) a distribuição de tensão na seção transversal.
Dados fornecidos (peguei estes valores da imagem):
  • Momento interno aplicado: M=30\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}.
  • Geometria da seção (todas as medidas em mm, extraídas da imagem):
    • largura da flange superior: b_t=100\\ \mathrm{mm} (dois lados de 50\\ \mathrm{mm} somando 100\\ \mathrm{mm});
    • espessura da flange superior: t_t=10\\ \mathrm{mm};
    • espessura da alma (web): t_w=5\\ \mathrm{mm};
    • altura total da seção: H=150\\ \mathrm{mm};
    • espessura da flange inferior: t_b=15\\ \mathrm{mm}.
  • Material: aço A992 (só para referência — para calcular tensão usamos somente M e a inércia geométrica).
Observação sobre o sentido do momento (peguei da imagem): o momento mostrado gera compressão na fibra superior e tração na fibra inferior (vou usar isso para indicar o sinal das tensões).

Passo 2

Plano de solução (resumo didático):
  • Primeiro encontrar a posição do eixo neutro (centroide da área da seção) usando o método das áreas compostas.
  • Calcular o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro usando o teorema dos eixos paralelos (somar os momentos de inércia de cada retângulo em torno do eixo neutro).
  • Usar a fórmula da flexão simples para achar a tensão em qualquer fibra: \sigma = -\dfrac{M\,y}{I}, onde explicarei o que é cada termo.
  • Determinar a máxima tensão absoluta (distância máxima y até as fibras extremas) e indicar o sinal conforme o sentido do momento.
Breve aula sobre a fórmula da flexão:
  • Para vigas submetidas a um momento fletor M (assumindo seção plana que permanece plana), a tensão normal devido à flexão em uma fibra a uma distância y do eixo neutro é
\sigma = -\frac{M\,y}{I}.
  • \sigma é a tensão normal (positivo = tração, negativo = compressão pela convenção que vou usar).
  • M é o momento interno em N\cdot\mathrm{mm}.
  • y é a distância da fibra ao eixo neutro (em \mathrm{mm}); sinal de y determina se a fibra está acima ou abaixo do eixo neutro, mas para magnitude usamos |y|.
  • I é o momento de inércia da área da seção em \mathrm{mm}^4 em torno do eixo neutro.
  • Portanto precisamos de I e da posição do eixo neutro (para achar y das fibras extremas).

Passo 3

Cálculo das áreas e centroides das partes (seção composta por 3 retângulos: flange superior, alma, flange inferior). Vou medir y a partir da face superior (topo) para facilitar.
Áreas:
\begin{aligned} A_1&=b_t t_t = 100\cdot 10 = 1000\\ \mathrm{mm}^2 \quad\text{(flange superior)}\\[4pt] A_2&=t_w\cdot h_{w},\quad h_{w}=H-(t_t+t_b)=150-(10+15)=125\\ \mathrm{mm}\\\ A_2&=5\cdot125=625\\ \mathrm{mm}^2 \quad\text{(alma)}\\[4pt] A_3&=b_t t_b = 100\cdot15 = 1500\\ \mathrm{mm}^2 \quad\text{(flange inferior)} \end{aligned}
Centroides (distância do topo):
\begin{aligned} y_1&=\frac{t_t}{2}=\frac{10}{2}=5\\ \mathrm{mm}\\[4pt] y_2&=t_t+\frac{h_w}{2}=10+\frac{125}{2}=10+62{,}5=72{,}5\\ \mathrm{mm}\\[4pt] y_3&=t_t+h_w+\frac{t_b}{2}=10+125+\frac{15}{2}=10+125+7{,}5=142{,}5\\ \mathrm{mm} \end{aligned}]

Passo 4

Cálculo da posição do eixo neutro (centroide da área total):
\bar{y}=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i}
Calculemos:
\sum A_i = 1000+625+1500=3125\\ \mathrm{mm}^2
\sum A_i y_i = 1000\cdot 5 + 625\cdot 72{,}5 + 1500\cdot 142{,}5 =5000 + 45312{,}5 + 213750 = 264062{,}5\\ \mathrm{mm}^3
\bar{y}=\frac{264062{,}5}{3125}=84{,}5\\ \mathrm{mm}
Interpretação: o eixo neutro está a 84{,}5\\ \mathrm{mm} abaixo do topo. Distâncias às fibras extremas:
y_{\text{top}}=\bar{y}=84{,}5\\ \mathrm{mm}\quad(\text{do topo até o eixo neutro})é
y_{\text{bottom}}=H-\bar{y}=150-84{,}5=65{,}5\\ \mathrm{mm}
Portanto a fibra mais afastada do eixo neutro é a fibra superior ( y_{\max}=84{,}5\\ \mathrm{mm}) — é ali que a tensão de flexão absoluta máxima ocorrerá.

Passo 5

Cálculo do momento de inércia total em torno do eixo neutro pela soma dos momentos de inércia dos retângulos (teorema dos eixos paralelos). Fórmula do momento de inércia de um retângulo em torno de seu próprio centro (eixo horizontal central):
I_{\text{cent}}=\frac{b h^3}{12},
onde b é a largura (no nosso caso, largura horizontal da peça) e h é a altura vertical do retângulo.
Para cada parte:
  • Flange superior (1): b=100,\\ h=10.
I_{1,\text{cent}}=\frac{100\cdot 10^3}{12}= \frac{100\cdot 1000}{12}=8333{,}333\\ \mathrm{mm}^4.
Distância ao eixo neutro: d_1=|y_1-\bar{y}|=|5-84{,}5|=79{,}5\\ \mathrm{mm}.
Aplicando teorema dos eixos paralelos:
I_1 = I_{1,\text{cent}} + A_1 d_1^2 = 8333{,}333 + 1000\cdot(79{,}5)^2.
Calcule 1000\cdot(79{,}5)^2 = 1000\cdot 6320{,}25 = 6\,320\,250.
I_1 = 8333{,}333 + 6\,320\,250 = 6\,328\,583{,}333\\ \mathrm{mm}^4.
  • Alma (2): b=5,\\ h=125.
I_{2,\text{cent}}=\frac{5\cdot 125^3}{12}=\frac{5\cdot 1\,953\,125}{12}=813\,802{,}083\\ \mathrm{mm}^4.
Distância: d_2=|72{,}5-84{,}5|=12\\ \mathrm{mm}.
I_2 = I_{2,\text{cent}} + A_2 d_2^2 = 813\,802{,}083 + 625\cdot 12^2.
Calcule 625\cdot 144 = 90\,000.
I_2 = 813\,802{,}083 + 90\,000 = 903\,802{,}083\\ \mathrm{mm}^4.
  • Flange inferior (3): b=100,\\ h=15.
I_{3,\text{cent}}=\frac{100\cdot 15^3}{12}=\frac{100\cdot 3375}{12}=28\,125\\ \mathrm{mm}^4.
Distância: d_3=|142{,}5-84{,}5|=58\\ \mathrm{mm}.
I_3 = I_{3,\text{cent}} + A_3 d_3^2 = 28\,125 + 1500\cdot 58^2.
Calcule 1500\cdot 3364 = 5\,046\,000.
I_3 = 28\,125 + 5\,046\,000 = 5\,074\,125\\ \mathrm{mm}^4.
Somando:
I = I_1+I_2+I_3 = 6\,328\,583{,}333 + 903\,802{,}083 + 5\,074\,125
I \approx 12\,306\,510{,}416\\ \mathrm{mm}^4 \approx 1{,}23065\times 10^{7}\\ \mathrm{mm}^4.

Passo 6

Conversão do momento para as mesmas unidades e cálculo da tensão máxima por flexão.
Converter M para N\cdot\mathrm{mm}:
M = 30\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m} = 30\,000\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m} = 30\,000\times 1000\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{mm}=30\times 10^{6}\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{mm}.
Fórmula da flexão (relembrando):
\sigma = -\frac{M\,y}{I}.
Tensão na fibra superior (distância y_{\text{top}}=84{,}5\\ \mathrm{mm}, essa será a máxima em módulo):
\sigma_{\text{top}}=-\frac{30\times10^{6}\cdot 84{,}5}{1{,}2306510416\times 10^{7}}\\ \mathrm{N/mm}^2.
Calcule numerador: 30\times10^{6}\cdot 84{,}5 = 2{,}535\times10^{9}.
\sigma_{\text{top}} \approx -\frac{2{,}535\times10^{9}}{1{,}2306510416\times10^{7}} \approx -205{,}995\\ \mathrm{N/mm}^2 \approx -206\\ \mathrm{MPa}.
Sinal negativo indica compressão (conforme sentido do momento na imagem).
Tensão na fibra inferior (distância y_{\text{bottom}}=65{,}5\\ \mathrm{mm}):
\sigma_{\text{bottom}}=-\frac{30\times10^{6}\cdot 65{,}5}{1{,}2306510416\times 10^{7}} \approx -159{,}6\\ \mathrm{MPa}\approx -160\\ \mathrm{MPa}.
Mas atenção ao sinal: como definimos y positivo para baixo (a posição do eixo neutro foi medida a partir do topo), e o momento da figura causa compressão na parte superior, o resultado acima com o mesmo fórmula deu sinal negativo para fibras acima do neutro (compressão). Para a fibra inferior, numericamente obtivemos -160\\ \mathrm{MPa} se aplicarmos y com sinal algébrico; porém a fibra inferior está do outro lado do eixo neutro e, interpretando fisicamente, ela estará em tração de magnitude 160\\ \mathrm{MPa}. Ou seja:
  • Fibra superior: compressão |\sigma|=206\\ \mathrm{MPa}.
  • Fibra inferior: tração |\sigma|=160\\ \mathrm{MPa}.

Passo 7

Esboço(descrição) da distribuição de tensão:
  • A distribuição é linear através da profundidade (hipótese de seções planas permanece plana).
  • No eixo neutro (a 84{,}5\\ \mathrm{mm} do topo) a tensão é zero.
  • Acima do eixo neutro (próximo ao topo) a tensão é de compressão, crescendo linearmente até o máximo de \approx 206\\ \mathrm{MPa} na fibra superior extrema.
  • Abaixo do eixo neutro (próximo à base) a tensão é de tração, crescendo linearmente em módulo até \approx 160\\ \mathrm{MPa} na fibra inferior extrema.
  • Portanto o diagrama é uma linha reta passando por zero no eixo neutro, com ponta superior em compressão maior que a ponta inferior em tração (assimetria devido às diferentes espessuras das flanges).

Resposta

\sigma_{\text{máx}} = -206\\ \mathrm{MPa}á (compressão na fibra superior, magnitude 206\\ \mathrm{MPa})
\sigma_{\text{inferior}} = +160\\ \mathrm{MPa} (tração na fibra inferior, magnitude 160\\ \mathrm{MPa})

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