7.99. Determine a carga distribuida uniforme máxima w_{0} \mathrm{~N} / \mathrm{m} que o cabo pode suportar se ele é capaz de sustentar uma tração máxima de 60 kN .

Passo 1

O que o problema pede: determinar a carga distribuída uniforme máxima w_{0} (em \mathrm{N/m}) que o cabo pode suportar, sabendo que a tração máxima que o cabo aguenta é 60\\ \mathrm{kN}.
Informações fornecidas (peguei estes valores da imagem/enunciado):
  • Vão total L = 60\\ \mathrm{m}.
  • A flecha (distância vertical do ponto mais baixo do cabo até a linha da viga) no meio é 7\\ \mathrm{m}.
  • A tração máxima admissível no cabo é T_{\max}=60\\ \mathrm{kN} (ou seja, 60000\\ \mathrm{N}).
  • A carga aplicada sobre a viga é uma carga distribuída horizontalmente e uniforme de intensidade w_{0} (unidade \mathrm{N/m}), que é o que devemos determinar.
  • O sistema é simétrico em relação ao meio do vão (o cabo é igual dos dois lados).

Passo 2

Modelo e equações básicas (explicando cada passo como se estivéssemos na prova).
  1. Forma do cabo e componente horizontal da tração.
  • Para um cabo submetido a uma carga distribuída uniforme por unidade de comprimento horizontal w_{0}, a forma do cabo é uma parábola. Isso vem do equilíbrio vertical: ao deslocar-se um pequeno incremento horizontal dx, a variação da componente vertical da tensão é igual à carga sobre esse pequeno trecho.
  • Definimos um sistema de coordenadas com origem no ponto mais baixo do cabo (meio do vão), eixo x horizontal positivo para a direita e y vertical positivo para cima. No ponto central x=0 temos y=0 e a componente vertical da tração é zero.
  • Se H é a componente horizontal (constante ao longo do cabo) da tração, então o equilíbrio vertical local dá
\frac{dV}{dx}=w_{0},
onde V(x) é a componente vertical da tração na posição x. Como V(0)=0, integra-se para
V(x)=w_{0}x.
A inclinação do cabo é dada por \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{V(x)}{H}=\dfrac{w_{0}x}{H}. Integrando novamente e usando y(0)=0 obtemos a equação parabólica
y(x)=\frac{w_{0}x^{2}}{2H}.
  1. Expressão da flecha no apoio.
  • No apoio (na extremidade), x=L/2. A flecha conhecida é y(L/2)=7\\ \mathrm{m}. Substituindo:
7=\frac{w_{0}}{2H}\left(\frac{L}{2}\right)^{2}.
  • Agora substituímos L=60\\ \mathrm{m}. Calculamos \left(\dfrac{L}{2}\right)^{2}=(30)^{2}=900. Assim:
7=\frac{w_{0}\cdot 900}{2H}=\frac{450\,w_{0}}{H}.
  • Isolando H:
H=\frac{450\,w_{0}}{7}.
Aqui expliquei o que é cada variável:
  • w_{0}: intensidade da carga distribuída por metro horizontal ( \mathrm{N/m}).
  • H: componente horizontal da tração no cabo ( \mathrm{N}).
  • V: componente vertical da tração ( \mathrm{N}).
  • y(x): elevação do cabo em relação ao ponto médio ( \mathrm{m}).

Passo 3

Componente vertical na extremidade e tração total no apoio.
  • A componente vertical da tração no apoio (em x=L/2) é V(L/2)=w_{0}\cdot (L/2). Com L/2=30\\ \mathrm{m}:
V_{\text{apoio}}=30\,w_{0}.
  • A magnitude da tração no apoio (que é onde a tração é máxima) é a resultante das componentes horizontal e vertical:
T_{\max}=\sqrt{H^{2}+V_{\text{apoio}}^{2}}.
  • Substituímos H e V_{\text{apoio}} em função de w_{0}:
T_{\max}=\sqrt{\left(\frac{450\,w_{0}}{7}\right)^{2}+(30\,w_{0})^{2}}.

Passo 4

Isolando w_{0} e resolução algébrica.
  • Elevar ao quadrado:
T_{\max}^{2}=w_{0}^{2}\left[\left(\frac{450}{7}\right)^{2}+30^{2}\right].
  • Logo
w_{0}=\frac{T_{\max}}{\sqrt{\left(\dfrac{450}{7}\right)^{2}+30^{2}}}.
  • Podemos simplificar a expressão somando os termos dentro da raiz. Observe que
\left(\frac{450}{7}\right)^{2}+30^{2}=\frac{202500}{49}+900=\frac{202500+44100}{49}=\frac{246600}{49}.
  • Assim a raiz é \sqrt{\dfrac{246600}{49}}=\dfrac{\sqrt{246600}}{7}. Portanto
w_{0}=\frac{T_{\max}}{\dfrac{\sqrt{246600}}{7}}=\frac{7\,T_{\max}}{\sqrt{246600}}.

Passo 5

Cálculo numérico final (unidades e arredondamento para leitura de prova).
  • Substituindo T_{\max}=60\\ \mathrm{kN}=60000\\ \mathrm{N}:
w_{0}=\frac{7\cdot 60000}{\sqrt{246600}}.
  • Calculando \sqrt{246600}\approx 496{,}588, obtemos
w_{0}\approx\frac{420000}{496{,}588}\approx 845{,}95\\ \mathrm{N/m}.
  • Arredondando razoavelmente para dois algarismos significativos relevantes:
w_{0}\approx 846\\ \mathrm{N/m}.
Força isso quer dizer: o cabo suporta aproximadamente 846\\ \mathrm{N} de carga por metro horizontal antes de atingir 60\\ \mathrm{kN} na tração máxima.

Resposta

w_{0}\approx 846\\ \mathrm{N/m}

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