7.99. Determine a carga distribuida uniforme máxima
que o cabo pode suportar se ele é capaz de sustentar uma tração máxima de 60 kN .
Passo 1
O que o problema pede: determinar a carga distribuída uniforme máxima
(em
) que o cabo pode suportar, sabendo que a tração máxima que o cabo aguenta é
.
Informações fornecidas (peguei estes valores da imagem/enunciado):
- Vão total
. - A flecha (distância vertical do ponto mais baixo do cabo até a linha da viga) no meio é
. - A tração máxima admissível no cabo é
(ou seja, ). - A carga aplicada sobre a viga é uma carga distribuída horizontalmente e uniforme de intensidade
(unidade ), que é o que devemos determinar. - O sistema é simétrico em relação ao meio do vão (o cabo é igual dos dois lados).
Passo 2
Modelo e equações básicas (explicando cada passo como se estivéssemos na prova).
- Forma do cabo e componente horizontal da tração.
-
Para um cabo submetido a uma carga distribuída uniforme por unidade de comprimento horizontal
, a forma do cabo é uma parábola. Isso vem do equilíbrio vertical: ao deslocar-se um pequeno incremento horizontal , a variação da componente vertical da tensão é igual à carga sobre esse pequeno trecho. -
Definimos um sistema de coordenadas com origem no ponto mais baixo do cabo (meio do vão), eixo
horizontal positivo para a direita e vertical positivo para cima. No ponto central temos e a componente vertical da tração é zero. -
Se
é a componente horizontal (constante ao longo do cabo) da tração, então o equilíbrio vertical local dá
onde
é a componente vertical da tração na posição
. Como
, integra-se para
A inclinação do cabo é dada por
. Integrando novamente e usando
obtemos a equação parabólica
- Expressão da flecha no apoio.
- No apoio (na extremidade),
. A flecha conhecida é . Substituindo:
- Agora substituímos
. Calculamos . Assim:
- Isolando
:
Aqui expliquei o que é cada variável:
-
: intensidade da carga distribuída por metro horizontal ( ). -
: componente horizontal da tração no cabo ( ). -
: componente vertical da tração ( ). -
: elevação do cabo em relação ao ponto médio ( ).
Passo 3
Componente vertical na extremidade e tração total no apoio.
- A componente vertical da tração no apoio (em
) é . Com :
- A magnitude da tração no apoio (que é onde a tração é máxima) é a resultante das componentes horizontal e vertical:
- Substituímos
e em função de :
Passo 4
Isolando
e resolução algébrica.
- Elevar ao quadrado:
- Logo
- Podemos simplificar a expressão somando os termos dentro da raiz. Observe que
- Assim a raiz é
. Portanto
Passo 5
Cálculo numérico final (unidades e arredondamento para leitura de prova).
- Substituindo
:
- Calculando
, obtemos
- Arredondando razoavelmente para dois algarismos significativos relevantes:
Força isso quer dizer: o cabo suporta aproximadamente
de carga por metro horizontal antes de atingir
na tração máxima.