79 Analisando os planos de uma piscina. Você foi encarregado de analisar os planos de uma piscina que vai fazer parte de um hotel. A água da piscina vai chegar ao hotel por um cano horizontal de raio R_{1}=6,00 \mathrm{~cm}, com a água a uma pressào de 2,00 \mathrm{~atm}. Um cano vertical de raio R_{2}= 1,00 \mathrm{~cm} vai levar a água a uma altura de 9,40 \mathrm{~m}, de onde a água vai cair livremente em uma piscina quadrada com 10,0 \mathrm{~m} de lado e uma profundidade de 2,00 \mathrm{~m}. (a) Quanto tempo será necessário para encher a piscina? (b) Se mais que alguns dias for considerado inaceitável e menos que algumas horas for considerado perigoso, o tempo para encher a piscinaé aceitável e seguro?

Passo 1

O enunciado descreve um escoamento estacionário de água que chega por um cano horizontal de raio R_{1}=6,00\\ \mathrm{cm} sob pressão P_{1}=2,00\\ \mathrm{atm} e sai por um cano vertical de raio R_{2}=1,00\\ \mathrm{cm}, subindo até a altura h=9,40\\ \mathrm{m} e saindo à pressão atmosférica P_{2}=1,00\\ \mathrm{atm}. Após a saída, a vazão cai livremente para encher uma piscina de base quadrada de lado 10,0\\ \mathrm{m} e profundidade 2,00\\ \mathrm{m}.
Para resolver, vamos usar:
  1. Equação de Bernoulli entre um ponto no cano horizontal (nível zero de referência) e o topo do cano vertical.
  2. Equação de continuidade A_{1}v_{1}=A_{2}v_{2}.
  3. Cálculo de vazão volumétrica Q=A_{2}v_{2}.
  4. Volume da piscina V=10{,}0\times10{,}0\times2{,}00.
  5. Tempo t=V/Q.

Passo 2

Escrevendo Bernoulli entre ponto 1 (cano horizontal) e ponto 2 (saída do cano vertical) e usando continuidade:
P_{1}+\tfrac12\rho v_{1}^{2}+\rho g\cdot0 = P_{2}+\tfrac12\rho v_{2}^{2}+\rho g\,h,
A_{1}v_{1}=A_{2}v_{2},\quad A_{i}=\pi R_{i}^{2}.
Como A_{1}/A_{2}=(6{,}00/1{,}00)^{2}=36, segue v_{1}=v_{2}/36.

Passo 3

Substituindo v_{1}=v_{2}/36 e as pressões em pascal 1\\ \mathrm{atm}=1,013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} em Bernoulli:
P_{1}-P_{2} = \tfrac12\rho\bigl(v_{2}^{2}-v_{2}^{2}/36^{2}\bigr) +\rho g\,h.
Numericamente, com \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}, g=9,80\\ \mathrm{m/s^{2}}:
(2,00-1,00)\times1,013\times10^{5} = \tfrac12\cdot1000\cdot v_{2}^{2}\Bigl(1-\tfrac1{36^{2}}\Bigr) +1000\cdot9,80\cdot9,40.
Calculando:
v_{2}^{2}\approx18{,}33\quad\Rightarrow\quad v_{2}\approx4{,}28\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

A área do cano de saída é
A_{2}=\pi(0,01)^{2}\approx3,142\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}},
logo a vazão volumétrica é
Q=A_{2}v_{2}\approx3,142\times10^{-4}\times4,28 \approx1,35\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Passo 5

O volume da piscina é
V=10{,}0\times10{,}0\times2{,}00=200\\ \mathrm{m^{3}}.
Então o tempo para encher é
t=\frac{V}{Q} \approx\frac{200}{1,35\times10^{-3}} \approx1,49\times10^{5}\\ \mathrm{s} \approx41,3\\ \mathrm{h} \approx1,72\\ \mathrm{dias}.

Resposta

Tempo para encher t\approx41,3 h ( \approx 1,72 dias).
Como esse valor é menor que “alguns dias” e maior que “algumas horas”, o tempo é considerado aceitável e seguro.

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