Duas placas planas horizontais planas com água entre elas estão separadas por uma distância de y. A placa inferior se move com uma velocidade-V, entanto a placa superior se move com V, não há variação de pressão ao longo de qualquer um dos eixos.
a. Há movimento do fluido entre as placas? Se sim, explique como se dá esse movimento.
b. Desenhe a distribuição de velocidade entre as placas, desenhe o vetor velocidade e diga quais das suas componentes são iguais ou diferentes de zero. Para as componentes diferentes de zero, diga com qual eixo (de acordo com o que você adotou) elas variam.
c. Enumere as possíveis hipóteses apresentadas no enunciado do problema e mais as hipóteses necessárias para a utilização das equações de Navier-Stokes (Dica: 6 a 7 hipóteses).
d. Escreva a equação da continuidade e as equações de Navier-Stokes e explique por que cada termo é considerado ou desconsiderado. Escreva as condições de contorno.
e. Encontre a equação que descreve o perfil de velocidades do escoamento entre as placas.

Passo 1

O enunciado descreve o escoamento viscoso entre duas placas planas horizontais infinitas separadas por uma distância H. A placa inferior se move com velocidade -V no sentido x e a superior com +V, sem variação de pressão ao longo de quaisquer eixos. O conteúdo é o escoamento de Couette unidimensional e estacionário, usando as equações de Navier–Stokes em regime laminar.

Passo 2

Sim, há movimento do fluido. Como as placas arrastam o fluido em contato por atrito viscoso, a camada adjacente à placa inferior adquire velocidade -V e a adjacente à superior adquire +V. A viscosidade interna transmite esse movimento de uma placa à outra, criando um perfil contínuo de velocidades no interior do fluido.

Passo 3

A distribuição de velocidade u(y)\) é linear entre as placas. Num gráfico \(u\) versus \(y\): \[\begin{cases} u(0)=-V,\\\ u(H)=+V, \end{cases}
e a reta interligando esses pontos. O vetor velocidade é \mathbf{v}=(u(y),0,0)\], logo \[v=0,\quad w=0,\] e apenas \(u\neq0. Essa componente varia unicamente com o eixo y.

Passo 4

Hipóteses do enunciado e adicionais para usar Navier–Stokes:
  1. Fluido newtoniano e de viscosidade constante.
  2. Incompressível \rho= constante).
  3. Escoamento estacionário ( \partial/\partial t=0.
  4. Unidimensional e plenamente desenvolvido u=u(y), não depende de x,z.
  5. Sem gradiente de pressão \partial p/\partial x=0, \partial p/\partial y=0, \partial p/\partial z=0.
  6. Sem forças de volume (por ex. gravidade desprezível ou equilibrada).
  7. Placas infinitas (sem efeitos de extremidade).

Passo 5

Equação da continuidade:
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0.
Como u=u(y), v=0, w=0, temos 0+0+0=0, satisfeita.
Equação de Navier–Stokes na direção x:
\rho\bigl(u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}\bigr) =-\frac{\partial p}{\partial x}+\mu\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}y^2}.
Pelo regime estacionário e unidimensional, os termos convectivos são nulos e \partial p/\partial x=0, sobrando
\mu\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}y^2}=0.
As equações em y e z apenas determinam que p= constante e não geram velocidade nessas direções.
Condições de contorno:
u(0)=-V, \qquad u(H)=+V.

Passo 6

Integramos
\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}y^2}=0
uma vez:
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}=A,
e mais uma vez:
u(y)=A\,y+B.
Aplicando u(0)=B=-V e u(H)=A\,H -V=+V obtemos
A=\frac{2V}{H}.
Logo
u(y)=-V+\frac{2V}{H}\,y.

Resposta

A lei de velocidade do escoamento de Couette é
u(y) = -V + \frac{2V}{H}\,y.

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