Questão 1 (Questão 1 do Questionário em PDF) - “Etanol” a 20^{\circ} \mathrm{C}\left(\rho=789 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3} \mathbf{e} \mu=\right. \mathbf{1 , 1 9 4}^{*} \mathbf{1 0}^{-\mathbf{3}} \mathrm{N} . \mathbf{s}^{\mathbf{2}} ) escoa com velocidade média de 5,4 \mathrm{~m} / \mathrm{s} num tubo que apresenta diâmetro igual a 35 mm . É necessário desenvolver um modelo deste sistema que utilize "Amônia ( \boldsymbol{\rho}=\mathbf{6 9 7 ~ K g} / \mathbf{m}^{\mathbf{3}} \boldsymbol{e} \boldsymbol{\mu}=\mathbf{2 6 6}^{\boldsymbol{*}} \mathbf{1 0}^{\boldsymbol{- 6}} \mathbf{N} . \mathbf{s} / \mathbf{m}^{\mathbf{2}} ) como fluido de trabalho e a velocidade média do escoamento da amônia deve ser 0,75 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Qual é o diâmetro do tubo do modelo para que exista semelhança dinâmica entre o modelo e o protótipo?

Passo 1

O protótipo é um tubo por onde passa etanol a 20^\circ\mathrm{C} com \rho_p=789\:\mathrm{kg/m^3}, \mu_p=1{,}194\times10^{-3}\:\mathrm{N\cdot s/m^2}, velocidade média v_p=5{,}4\:\mathrm{m/s} e diâmetro D_p=35\:\mathrm{mm}=0{,}035\:\mathrm{m}.
No modelo queremos usar amônia com \rho_m=697\:\mathrm{kg/m^3}, \mu_m=266\times10^{-6}\:\mathrm{N\cdot s/m^2} e v_m=0{,}75\:\mathrm{m/s}.
Precisamos encontrar o diâmetro D_m do tubo do modelo para que haja semelhança dinâmica.

Passo 2

Para semelhança dinâmica igualamos os números de Reynolds do protótipo e do modelo:
\mathrm{Re}_p = \mathrm{Re}_m
com
\mathrm{Re}_p = \frac{\rho_p\,v_p\,D_p}{\mu_p} \quad\text{e}\quad \mathrm{Re}_m = \frac{\rho_m\,v_m\,D_m}{\mu_m}\,.

Passo 3

Isolando D_m da igualdade \mathrm{Re}_p=\mathrm{Re}_m, obtemos
D_m \;=\;\frac{\rho_p\,v_p\,D_p}{\mu_p}\;\times\;\frac{\mu_m}{\rho_m\,v_m}\,.

Passo 4

Substituindo os dados (todos em SI):
D_m = \frac{789\cdot5{,}4\cdot0{,}035}{1{,}194\times10^{-3}}\;\times\;\frac{266\times10^{-6}}{697\cdot0{,}75}\:.
Calculando em duas etapas:
\frac{789\cdot5{,}4\cdot0{,}035}{1{,}194\times10^{-3}}\approx1{,}2495\times10^{5},
\frac{266\times10^{-6}}{697\cdot0{,}75}\approx5{,}087\times10^{-7},
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D_m \approx1{,}2495\times10^{5}\times5{,}087\times10^{-7}\approx0{,}0636\:\mathrm{m}\,.

Resposta

O diâmetro do tubo do modelo deve ser aproximadamente D_m\approx0{,}0636\:\mathrm{m}, isto é, cerca de 63{,}6\:\mathrm{mm}.

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