Questão 7 (Questão 7 do Questionário em PDF) - Um óleo ( \rho=970 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3} \mathrm{e} \mu =0,28 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2} ) escoa num tubo que apresenta diâmetro interno, D , igual a 9 mm . Qual é a queda de pressão necessária para produzir uma vazão de 3 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} em um tubo horizontal com 3,5 \mathrm{~m} de comprimento.

Passo 1

O enunciado pede a queda de pressão necessária para um óleo de densidade \rho=970\\ \mathrm{kg/m^3} e viscosidade dinâmica \mu=0,28\\ \mathrm{N\cdot s/m^2} escoar num tubo horizontal de diâmetro interno D=9\\ \mathrm{mm} (ou seja, D=0,009\\ \mathrm{m}) e comprimento L=3{,}5\\ \mathrm{m} com vazão volumétrica Q=3\times10^{-6}\\ \mathrm{m^3/s}. O conteúdo é mecânica dos fluidos, regime laminar e aplicação da lei de Poiseuille.

Passo 2

Verificamos primeiro o regime de escoamento usando o número de Reynolds
\mathrm{Re} = \frac{4\,\rho\,Q}{\pi\,D\,\mu}.
Substituindo os valores:
\mathrm{Re} = \frac{4 \times 970 \times 3\times10^{-6}}{\pi \times 0,009 \times 0,28} \approx 1{,}5.
Como \mathrm{Re}\ll2000, o escoamento é laminar.

Passo 3

Em regime laminar, a queda de pressão é dada pela lei de Poiseuille:
\Delta p = \frac{128\,\mu\,L\,Q}{\pi\,D^{4}}.

Passo 4

Substituindo numericamente:
\Delta p = \frac{128 \times 0,28 \times 3{,}5 \times 3\times10^{-6}} {\pi \times (0,009)^{4}}.
Calculando passo a passo:
D^{4} = (0,009)^{4} = 6{,}561\times10^{-9}, \quad \pi\,D^{4}\approx 2{,}0615\times10^{-8},
128\,\mu\,L\,Q = 128 \times 0,28 \times 3{,}5 \times 3\times10^{-6} \approx 3,7632\times10^{-4}.
Logo,
\Delta p \approx \frac{3,7632\times10^{-4}}{2,0615\times10^{-8}} \approx 1,83\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.

Resposta

A queda de pressão necessária é aproximadamente
\Delta p \approx 1,83\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.

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