3.7A Calcule a massa de uma bola de raio R, se densidade de massa é diretamente proporcional à distância r ao centro da esfera. Qual seria a massa da bola, se a densidade fosse inversamente proporcional à r ?

Passo 1

O enunciado pede a massa de uma bola (esfera sólida) de raio R quando a densidade rho varia radialmente, primeiro sendo proporcional a r e depois sendo proporcional a 1/r.
Conteúdo necessário: integração em coordenadas esféricas e uso do elemento de volume de uma casca esférica.

Passo 2

Para qualquer densidade radial rho(r), considere uma casca esférica de raio r e espessura dr. O volume dessa casca é
dV = 4pi r^2,dr
Logo a massa total da esfera é
M=integral0^Rrho(r),dV =integral0^Rrho(r),4pi r^2,dr

Passo 3

Caso 1: densidade diretamente proporcional a r.
Suponha
rho(r)=k1,r,
onde k1 é a constante de proporcionalidade. Substituindo em M:
M1 = integral0^Rk1,r;l(4pi r^2r),dr =4pi k1integral0^Rr^3,dr =4pi k1[r^44]0^R =pi k1R^4

Passo 4

Caso 2: densidade inversamente proporcional a r.
Suponha
rho(r)=k2r,
onde k2 é a constante de proporcionalidade. Então
M2 = integral0^Rk2r;l(4pi r^2r),dr =4pi k2integral0^Rr,dr =4pi k2[r^22]0^R =2pi k2R^2

Resposta

Massa quando rhopropto r:
M1=pi,k1,R^4
Massa quando rhoproptotfrac1r:
M2=2pi,k2,R^2

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