3.7A Calcule a massa de uma bola de raio
, se densidade de massa é diretamente proporcional à distância
ao centro da esfera. Qual seria a massa da bola, se a densidade fosse inversamente proporcional à
?
Passo 1
O enunciado pede a massa de uma bola (esfera sólida) de raio
quando a densidade
varia radialmente, primeiro sendo proporcional a
e depois sendo proporcional a
.
Conteúdo necessário: integração em coordenadas esféricas e uso do elemento de volume de uma casca esférica.
Conteúdo necessário: integração em coordenadas esféricas e uso do elemento de volume de uma casca esférica.
Passo 2
Para qualquer densidade radial
, considere uma casca esférica de raio
e espessura
. O volume dessa casca é
Logo a massa total da esfera é
Passo 3
Caso 1: densidade diretamente proporcional a
.
Suponha
Suponha
onde
é a constante de proporcionalidade. Substituindo em
:
Passo 4
Caso 2: densidade inversamente proporcional a
.
Suponha
Suponha
onde
é a constante de proporcionalidade. Então
Resposta
Massa quando
:
Massa quando
: