Usando uma mudança de coordenadas adequada, calcule o volume do sólido Omega nos seguintes casos:
Omega é a intersecção da bola x^2+y^2+z^2 <= R^2 com o cilindro x^2+y^2 <= a^2, 0<a<R.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido Omega que é a interseção da esfera x^2 + y^2 + z^2 <= R^2 com o cilindro x^2 + y^2 <= a^2, onde 0<a<R. O conteúdo aqui é cálculo de volume por mudança para coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas (r,theta,z) temos x=rcostheta, y=rsintheta, z=z e o elemento de volume
dV = r,dr,dtheta,dz
A região é descrita por
0 <= theta <= 2pi, 0 <= r <= a, -raizR^2 - r^2 <= z <= raizR^2 - r^2
Logo o volume é
V = integral0^2pi!!integral0^a!!integral-raizR^2 - r^2^raizR^2 - r^2 r,dz,dr,dtheta

Passo 3

Integramos primeiro em z e depois em theta. Para cada r fixo,
integral-raizR^2 - r^2^raizR^2 - r^2 r,dz = 2rraizR^2 - r^2,
e integrando theta de 0 a 2pi vem
V = 2pi integral0^a 2rraizR^2 - r^2,dr =4pi integral0^a rraizR^2 - r^2,dr

Passo 4

Para calcular
integral0^a rraizR^2 - r^2,dr
fazemos a substituição u = R^2 - r^2, du = -2r,dr. Assim
integral0^a rraizR^2 - r^2,dr = -tfrac12 integralR^2^,R^2 - a^2 u^1/2,du = tfrac12 integralR^2 - a^2^R^2 u^1/2,du = tfrac13l[R^3 - (R^2 - a^2)^3/2r]

Passo 5

Substituindo em V:
V = 4pi cdot tfrac13l[R^3 - (R^2 - a^2)^3/2r] = tfrac4pi3l(R^3 - (R^2 - a^2)^3/2r)

Resposta

V = 4pi3l(R^3 - (R^2 - a^2)^3/2r)

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