Usando uma mudança de coordenadas adequada, calcule o volume do sólido
nos seguintes casos:
é a intersecção da bola
com o cilindro
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido
que é a interseção da esfera
com o cilindro
, onde
. O conteúdo aqui é cálculo de volume por mudança para coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas
temos
,
,
e o elemento de volume
A região é descrita por
Logo o volume é
Passo 3
Integramos primeiro em
e depois em
. Para cada
fixo,
e integrando
de
a
vem
Passo 4
Para calcular
fazemos a substituição
,
. Assim
Passo 5
Substituindo em
: