3 Sejam f e g funções reais tais que g(x)=2 x-3 e (f circ g)(x)=x^2-4 x+1. Encontre a expressão que define a função f.

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções reais f e g com
g(x)=2x-3
e informa que a composição
(fcirc g)(x)=x^2-4x+1
Queremos descobrir f. Aqui usamos a ideia de “desfazer” a composição: escrevemos u=g(x) e expressamos f(u) em termos de u.

Passo 2

Defina a variável intermediária
u = g(x) = 2x-3
Queremos f(u). Note que f(u)=fl(g(x)r), então
f(u) = (fcirc g)(x) = x^2 - 4x + 1
Mas ainda temos x na fórmula; precisamos reescrever tudo em termos de u. Da equação u=2x-3, isolamos x:
x = u+32

Passo 3

Substituímos x=tfracu+32 em x^2-4x+1 para obter f(u):
f(u) = (u+32)^2 - 4cdotu+32 + 1
Calculemos cada termo:
(u+32)^2 = u^2 + 6u + 94, 4cdotu+32 = 2u + 6
Logo
f(u) = u^2 + 6u + 94 - (2u + 6) + 1 = u^2 + 6u + 94 - 2u - 6 + 1
Para somar num único quociente com denominador 4:
-2u = -8u4, -6 = -244, 1 = 44
Assim
f(u) = u^2 + 6u + 9 - 8u - 24 + 44 = u^2 - 2u - 114

Resposta

f(x)=x^2-2x-114

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