4.7A Calcule as seguintes integrais de superfícies:
(k) integral duplaS x^2 d S ; S: x^2+y^2=z^2, 1 <= z <= 2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
integral duplaS x^2,dS
onde S é o tronco do cone definido por x^2+y^2=z^2 com 1<= z<=2.
O conteúdo aqui é parametrização de superfícies e cálculo do elemento de área dS.

Passo 2

Parametrizamos S em coordenadas cilíndricas adaptadas ao cone. Seja
r(z,theta) = l(zcostheta,;zsintheta,;zr),
com 1<= z<=2 e 0<=theta<=2pi.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais
rz=(costheta,;sintheta,;1), rtheta=(-zsintheta,;zcostheta,;0),
e o produto vetorial
rztimesrtheta =(-zcostheta,;-zsintheta,;z),
cuja magnitude é
llvertrztimesrthetarrvert =raizz^2cos^2theta+z^2sin^2theta+z^2 =raiz2,z^2 =zraiz2
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dS = zraiz2,dz,dtheta

Passo 4

No parâmetro, x^2=(zcostheta)^2=z^2cos^2theta. Assim a integral vira
integral duplaSx^2,dS =integral0^2pi!integral1^2 l(z^2cos^2thetar)l(zraiz2r),dz,dtheta =raiz2integral1^2z^3,dz integral0^2picos^2theta,dtheta

Passo 5

Calculamos separadamente
integral1^2z^3,dz =[z^44]1^2 =16-14 =154,
integral0^2picos^2theta,dtheta =pi
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integral duplaSx^2,dS =raiz2,154,pi =15raiz2,pi4

Resposta

15raiz2,pi4

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