Seja f(x) a função periódica de período 1 tal que f(x)=x^2, para 0<x<1.
(a) Encontre a expansão de f(x) em série de Fourier. SUGESTÃO: É conveniente usar o fato que se uma função é P-periódica, então sua integral em qualquer intervalo de comprimento P tem o mesmo valor. Portanto, para calcular os coeficientes de Fourier, se for conveniente, a integral entre -L e L pode ser substituída, por exemplo, pela integral entre 0 e 2 L.
(b) Usando o item (a) e fazendo x=0, obtenha que
pi^26=sumn=1^infty 1n^2
(c) Usando o item (a) e dando um valor conveniente para x, obtenha que
pi^212=1-12^2+13^2-14^2+15^2-16^2+cdots cdots

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Fourier de período 1 da função que vale f(x)=x^2 em (0,1), e depois usar essa expansão em valores especiais de x para obter somas famosas. O conteúdo envolvido é a teoria de séries de Fourier em funções de período P=1: precisamos calcular os coeficientes
a0, an=2integral0^1f(x)cos(2pi n x),dx, bn=2integral0^1f(x)sin(2pi n x),dx,
escrever
f(x)=a0+sumn=1^inftyl(ancos(2pi n x)+bnsin(2pi n x)r),
e então avaliar nos pontos desejados.

Passo 2

Calculemos os coeficientes.
(a) O termo constante é
a0=integral0^1x^2,dx=l[tfracx^33r]0^1=13
(b) Para an usamos integração por partes duas vezes e as identidades sin(2pi n)=0, cos(2pi n)=1. O resultado é
integral0^1x^2cos(2pi n x),dx=2(2pi n)^2,
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an=2cdot2(2pi n)^2=1pi^2n^2
(c) Para bn fazemos uma integração por partes e usamos sin(2pi n)=0, cos(2pi n)=1, obtendo
integral0^1x^2sin(2pi n x),dx=-12pi n,
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bn=2l(-12pi nr)=-1pi n

Passo 3

Substituindo em
f(x)=a0+sumn=1^inftyl(ancos(2pi n x)+bnsin(2pi n x)r),
temos a expansão
x^2=13+sumn=1^infty!l(1pi^2n^2cos(2pi n x)-1pi nsin(2pi n x)r)

Passo 4

Em x=0 a série converge para a média de f(0^-)=1 e f(0^+)=0, isto é 1/2. Então
12=13+sumn=1^infty1pi^2n^2,
o que implica
sumn=1^infty1n^2=pi^2l(tfrac12-tfrac13r)=pi^26

Passo 5

Em x=12 temos f(1/2)=(1/2)^2=1/4 e sin(2pi ncdottfrac12)=0, cos(2pi ncdottfrac12)=(-1)^n. Assim
14=13+sumn=1^infty(-1)^npi^2n^2,
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sumn=1^infty(-1)^nn^2=pi^2l(tfrac14-tfrac13r)=-pi^212
Isto equivale a
1-12^2+13^2-14^2+cdots=pi^212

Resposta

(a) x^2=13+sumn=1^inftyl(1pi^2n^2cos(2pi n x)-1pi nsin(2pi n x)r)
(b) sumn=1^infty1n^2=pi^26
(c) sumn=1^infty(-1)^n-1n^2=pi^212

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