Seja
a função periódica de período 1 tal que
, para
.
(a) Encontre a expansão de
em série de Fourier. SUGESTÃO: É conveniente usar o fato que se uma função é
-periódica, então sua integral em qualquer intervalo de comprimento
tem o mesmo valor. Portanto, para calcular os coeficientes de Fourier, se for conveniente, a integral entre
e
pode ser substituída, por exemplo, pela integral entre 0 e
.
(b) Usando o item (a) e fazendo
, obtenha que
(c) Usando o item (a) e dando um valor conveniente para
, obtenha que
(a) Encontre a expansão de
(b) Usando o item (a) e fazendo
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de Fourier de período
da função que vale
em
, e depois usar essa expansão em valores especiais de
para obter somas famosas. O conteúdo envolvido é a teoria de séries de Fourier em funções de período
: precisamos calcular os coeficientes
escrever
e então avaliar nos pontos desejados.
Passo 2
Calculemos os coeficientes.
(a) O termo constante é
(b) Para
usamos integração por partes duas vezes e as identidades
,
. O resultado é
logo
(c) Para
fazemos uma integração por partes e usamos
,
, obtendo
logo
Passo 3
Substituindo em
temos a expansão
Passo 4
Em
a série converge para a média de
e
, isto é
. Então
o que implica
Passo 5
Em
temos
e
,
. Assim
logo
Isto equivale a
Resposta
(a)
(b)
(c)