Resolva a seguinte equação do terceiro grau em R, sabendo que x=2 é uma das suas raízes. Para isto, use o método de Briott-Ruffini.
x^3-20 x^2+116 x-160=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R a equação
x^3 - 20x^2 + 116x - 160 = 0
sabendo que x=2 é uma raiz. Vamos usar o método de Briot-Ruffini para dividir o polinômio por (x-2) e obter um polinômio de segundo grau, que depois fatoramos.

Passo 2

Escrevemos os coeficientes do polinômio original:
1, -20, 116, -160
e aplicamos a divisão sintética com a raiz 2:
Baixamos o 1.
1times2=2, -20+2=-18
-18times2=-36, 116+(-36)=80
80times2=160, -160+160=0
O resto deu zero (confirmando x=2 como raiz) e o quociente é o polinômio
x^2 - 18x + 80

Passo 3

Agora resolvemos a equação quadrática
x^2 - 18x + 80 = 0
Procuramos dois números cujo produto seja 80 e cuja soma seja 18. Esses números são 8 e 10. Logo podemos fatorar:
x^2 - 18x + 80 = (x-8)(x-10)

Passo 4

Das duas parcelas fatoradas, obtemos as raízes
x-8=0implies x=8, x-10=0implies x=10
Juntando com a raiz dada x=2, temos todas as raízes reais da cúbica.

Resposta

As soluções da equação são
x = 2, x = 8, x = 10

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