4.7A Calcule as seguintes integrais de superfícies:
(f) integral duplaS(x^2+y^2+z^2) d S ; S: x^2+y^2+z^2=R^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
integral duplaSl(x^2+y^2+z^2r),dS
onde S é a esfera de raio R dada por x^2+y^2+z^2=R^2.
O conteúdo aqui é integral de superfície de uma função escalar sobre uma superfície fechada.

Passo 2

Note que, em todo ponto da esfera S, vale
x^2+y^2+z^2=R^2
Logo o integrando é constante na superfície:
f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2=R^2

Passo 3

Assim a integral se reduz a
integral duplaSf,dS =R^2,integral duplaSdS =R^2timesl(área de Sr) á

Passo 4

Sabemos que a área de uma esfera de raio R é
4pi R^2
Substituindo:
integral duplaSl(x^2+y^2+z^2r),dS =R^2times4pi R^2 =4pi R^4

Resposta

4pi R^4

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