Use um método adequado e resolva as integrais abaixo:
integral ln (x^2+2 x-8) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral lnl(x^2 + 2x - 8r),dx
O conteúdo principal aqui é usar integração por partes e, em seguida, um método de frações parciais, pois aparece um logaritmo de polinômio.

Passo 2

Aplicamos integração por partes escolhendo
u = lnl(x^2 + 2x - 8r), dv = dx
Então
du = 2x + 2x^2 + 2x - 8,dx, v = x
Logo
integral lnl(x^2 + 2x - 8r),dx = x,lnl(x^2 + 2x - 8r) - integral x ,2x + 2x^2 + 2x - 8,dx

Passo 3

No segundo termo, temos
integral x ,2x + 2x^2 + 2x - 8,dx = integral 2x^2 + 2xx^2 + 2x - 8,dx
Fazemos divisão de polinômios:
2x^2 + 2xx^2 + 2x - 8 = 2 + -2x + 16x^2 + 2x - 8
Portanto
integral 2x^2 + 2xx^2 + 2x - 8,dx = integral 2,dx + integral -2x + 16x^2 + 2x - 8,dx = 2x + integral -2x + 16x^2 + 2x - 8,dx

Passo 4

Para
integral -2x + 16x^2 + 2x - 8,dx
fatoramos o denominador:
x^2 + 2x - 8 = (x + 4)(x - 2)
e escrevemos
-2x + 16(x + 4)(x - 2) = Ax + 4 + Bx - 2
Determinando A e B, encontra-se A = -4 e B = 2. Logo
integral -2x + 16x^2 + 2x - 8,dx = -4 lnlvert x + 4rvert ;+; 2 lnlvert x - 2rvert

Passo 5

Reunindo tudo:
integral lnl(x^2 + 2x - 8r),dx &= x,lnl(x^2 + 2x - 8r) - l[,2x + l(-4 lnlvert x + 4rvert + 2 lnlvert x - 2rvertr)r] + C &= x,lnl(x^2 + 2x - 8r) - 2x + 4 lnlvert x + 4rvert - 2 lnlvert x - 2rvert + C

Resposta

integral lnl(x^2 + 2x - 8r),dx = x,lnl(x^2 + 2x - 8r) - 2x + 4 lnlvert x + 4rvert - 2 lnlvert x - 2rvert + C

Exercícios relacionados