Suponha que
seja uma função derivável em seu domínio
e que, para todo
em
, satisfaça
.
Se
, mostre que
.
Se
Passo 1
O enunciado diz que a função
satisfaz, para todo
em seu domínio
,
e pede a derivada
supondo
. Vamos usar diferenciação implícita, aplicando a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Diferenciando ambos os lados de
em relação a
, obtemos
Pela regra do produto,
e pela regra da cadeia,
Passo 3
Substituindo na derivada total, fica
Agrupando os termos que envolvem
,
Passo 4
Isolando
,
que vale sempre que
.