Suponha que f seja uma função derivável em seu domínio D e que, para todo x em D, satisfaça x f(x)+sen[f(x)]=4.
Se x+cos [f(x)] neq 0, mostre que f^prime(x)=-f(x)x+cos [f(x)].

Passo 1

O enunciado diz que a função f satisfaz, para todo x em seu domínio D,
x,f(x)+sinl(f(x)r)=4,
e pede a derivada f'(x) supondo x+cosl(f(x)r)neq0. Vamos usar diferenciação implícita, aplicando a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados de
x,f(x)+sinl(f(x)r)=4
em relação a x, obtemos
ddxl[x,f(x)r]+ddxsinl(f(x)r)=0
Pela regra do produto,
ddxl[x,f(x)r]=f(x)+x,f'(x),
e pela regra da cadeia,
ddxsinl(f(x)r)=cosl(f(x)r),f'(x)

Passo 3

Substituindo na derivada total, fica
f(x)+x,f'(x)+cosl(f(x)r),f'(x)=0
Agrupando os termos que envolvem f'(x),
l(x+cosl(f(x)r)r)f'(x)+f(x)=0

Passo 4

Isolando f'(x),
l(x+cosl(f(x)r)r)f'(x)=-f(x) Longrightarrow f'(x)=-f(x)x+cosl(f(x)r),
que vale sempre que x+cosl(f(x)r)neq0.

Resposta

f'(x)=-f(x)x+cosl(f(x)r)

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