4.7A Calcule as seguintes integrais de superfícies:
(d) integral duplaS F cdot eta d S ; S: x^2+y^2=R^2, x >= 0, y >= 0,0 <= z <= a e F=sen z i+x y j-cos z k.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de vec F através da superfície cilíndrica
S:;x^2+y^2=R^2, x>=0,;y>=0,;0<= z<= a,
sendo
vec F=(sen z),vec i + (xy),vec j -(cos z),vec k
O conteúdo é fluxo de campo vetorial em superfície paramétrica. Vamos parametrizar o quarto de cilindro em coordenadas cilíndricas e calcular
integral duplaSvec Fcdotveceta,dS

Passo 2

Parametrização:
x=Rcostheta, y=Rsintheta, z=z, thetain[0,tfracpi2],; zin[0,a]
O vetor normal unitário, apontando radialmente para fora, é
veceta=(costheta),vec i+(sintheta),vec j+0;vec k,
e o elemento de área é
dS=R,dtheta,dz

Passo 3

Em cada ponto da superfície temos
vec Fl(Rcostheta,Rsintheta,zr) =(sen z),vec i + l(R^2costhetasinthetar),vec j -(cos z),vec k
Logo
vec Fcdotveceta =(sen z)costheta +R^2costhetasintheta;sintheta =costheta,sen z+R^2costheta,sin^2!theta
Multiplicando por dS=R,dtheta,dz dá o integrando.

Passo 4

O fluxo é
integral duplaSvec Fcdotveceta,dS =integral0^pi/2!!integral0^a l[costheta,sen z+R^2costheta,sin^2!thetar],R,dz,dtheta
Separe em duas integrais:
R!integral0^pi/2costheta,dtheta;integral0^asen z,dz ;+; R^3!integral0^pi/2costheta,sin^2!theta,dtheta;integral0^adz
Calcule:
integral0^pi/2costheta,dtheta=1, integral0^asen z,dz=1-cos a,
integral0^pi/2costheta,sin^2!theta,dtheta =integral0^1u^2du=tfrac13, integral0^adz=a
Portanto o fluxo é
R,(1-cos a)+R^3,a3

Resposta

integral duplaSvec Fcdotveceta,dS =Rl(1-cos ar)+R^3a3

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