Seja
uma função contínua que se anula nos racionais. Prove que
é identicamente nula.
Passo 1
O enunciado diz que
é contínua e que
para todo
. O objetivo é mostrar que então
para todo
. Vamos usar a densidade de
em
e a definição
de continuidade.
Passo 2
Seja
um ponto arbitrário. Pela continuidade de
em
, para cada
existe
tal que
Como
é denso em
, podemos escolher um racional
com
Mas
, logo
Passo 3
Obtivemos que para todo
vale
Isso só é possível se
. Como
foi arbitrário, concluímos que