Seja f: R R uma função contínua que se anula nos racionais. Prove que f é identicamente nula.

Passo 1

O enunciado diz que fcolon RtoR é contínua e que
f(q)=0
para todo qinQ. O objetivo é mostrar que então
f(x)=0
para todo xinR. Vamos usar a densidade de Q em R e a definição varepsilon - de<a de continuidade.

Passo 2

Seja x0inR um ponto arbitrário. Pela continuidade de f em x0, para cada varepsilon>0 existe de<a>0 tal que
|x - x0|<de<a Longrightarrow |f(x)-f(x0)|<varepsilon
Como Q é denso em R, podemos escolher um racional qinQ com
|q - x0|<de<a
Mas f(q)=0, logo
|f(x0)-0| = |f(x0)-f(q)| < varepsilon

Passo 3

Obtivemos que para todo varepsilon>0 vale
|f(x0)| < varepsilon
Isso só é possível se f(x0)=0. Como x0 foi arbitrário, concluímos que
f(x)=0 para todo xinR

Resposta

f é identicamente nula, isto é, f(x)=0 para todo xinR.

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