Resolva as seguintes EDOLH
y^prime prime-2 y^prime+y=0, y(0)=1, y^prime(0)=1

Passo 1

A EDO dada é homogênea, linear, com coeficientes constantes. Precisamos resolver
y'' - 2y' + y = 0
com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=1. Essa é uma típica EDO de segunda ordem, então vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada substituindo y=e^rx, ou seja,
r^2 - 2r + 1 = 0

Passo 3

Resolvendo r^2 - 2r + 1 = 0, notamos que o discriminante De<a = (-2)^2 - 4cdot1cdot1 = 0, logo há raiz dupla
r = 1

Passo 4

Quando a raiz é dupla, a solução geral se escreve como
y(x) = l(C1 + C2,xr)e^x

Passo 5

Calculamos a derivada
y'(x) = C1 e^x + C2 e^x + C2 x e^x = l(C1 + C2 + C2 xr)e^x
Em x=0 temos y(0)=C1=1. Em x=0 também
y'(0) = (C1 + C2)e^0 = C1 + C2 = 1,
logo 1 + C2 = 1 e C2 = 0. Portanto
y(x) = e^x

Resposta

y(x) = e^x

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