7a Dada a função: f(x)=c7-x^2x+2, se x<0 14pi arctg(1-x^2), se x>0 decida se as afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F), justificando o porquê de sua escolha.
( ) A função f(x) é descontínua nos pontos: x=-2 e x=0.
( ) A função g(x)=lf(x), x neq 0 7 / 2, x=0 é contínua no ponto x=0.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
e pede para analisar a continuidade de
é contínua em (x=0]. O conteúdo envolvido é continuidade de funções definidas por partes, cálculo de limites laterais e comparação com o valor da função no ponto.]

Passo 2

Analisando f em x=-2: na região x<0 temos 7 - x^2x + 2, mas para x=-2 o denominador x+2 fica zero, logo f(-2) não está definida. Como a função nem existe ali, há quebra e, portanto, f é descontínua em x=-2.

Passo 3

Analisando f em x=0:
  • Lado esquerdo ( xto0^-):
limxto0^-f(x) =limxto0^-7 - x^2x + 2 =7-00+2 =72
  • Lado direito ( xto0^+):
limxto0^+f(x) =limxto0^+14pi,arctgl(1 - x^2r) =14pi,arctg(1) =14picdotpi4 =72
Como as duas limites laterais existem e coincidem em tfrac72, mas f(0) não está definida, f tem uma descontinuidade removível em x=0.

Passo 4

Na definição de g, escolhe-se g(0)=tfrac72. Como
limxto0g(x) =limxto0f(x) =72
e esse valor coincide com g(0), a função g é contínua em x=0.

Resposta

(V) A função f(x) é descontínua nos pontos: x=-2 e x=0.
(V) A função g(x) é contínua no ponto x=0.

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