Verificar se as seguintes igualdades são válidas, seja por integração ou por derivação.
Usando o método de frações parciais, verificar:
integral 2 x^4-2 x+12 x^5-x^4 d x=13 x^3+ln |x+1|-12 ln |2 x+3|+c

Passo 1

O enunciado pede verificar se
integral 2x^4-2x+12x^5-x^4,dx =13x^3+ln|x+1|-12ln|2x+3|+C
é uma igualdade verdadeira, usando derivação ou frações parciais.

Passo 2

Começamos fatorando o denominador:
2x^5-x^4=x^4(2x-1)
Então escrevemos a fração como
2x^4-2x+1x^4(2x-1) =Ax+Bx^2+Cx^3+Dx^4+E2x-1

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por
Expandindo e reunindo potências de obtemos o sistema
Da última equação , , e finalmente .

Passo 4

Substituindo de volta, a fração torna-se
2x^4-2x+12x^5-x^4 =-1x^4+22x-1
Integramos termo a termo:
integral -1x^4,dx =13x^3, integral 22x-1,dx =lnl|2x-1r|
Logo
integral 2x^4-2x+12x^5-x^4,dx =13x^3+lnl|2x-1r|+C

Passo 5

Comparando com o resultado proposto, vemos que apareceriam ln|x+1| e -tfrac12ln|2x+3|, mas na nossa antiderivada surge ln|2x-1|. Concluímos que a igualdade dada não é válida.

Resposta

A igualdade é falsa. A antiderivada correta é
integral 2x^4-2x+12x^5-x^4,dx =13x^3+lnl|2x-1r|+C

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