Verificar se as seguintes igualdades são válidas, seja por integração ou por derivação.
Usando o método de frações parciais, verificar:
Passo 1
O enunciado pede verificar se
é uma igualdade verdadeira, usando derivação ou frações parciais.
Passo 2
Começamos fatorando o denominador:
Então escrevemos a fração como
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por
Expandindo e reunindo potências de obtemos o sistema
Da última equação , , e finalmente .
Passo 4
Substituindo de volta, a fração torna-se
2x^4-2x+12x^5-x^4 =-1x^4+22x-1
Integramos termo a termo:
integral -1x^4,dx =13x^3, integral 22x-1,dx =lnl|2x-1r|
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integral 2x^4-2x+12x^5-x^4,dx =13x^3+lnl|2x-1r|+C
Passo 5
Comparando com o resultado proposto, vemos que apareceriam ln|x+1| e -tfrac12ln|2x+3|, mas na nossa antiderivada surge ln|2x-1|. Concluímos que a igualdade dada não é válida.