Verificar se as seguintes igualdades são válidas, seja por integração ou por derivação.
Usando o método de frações parciais, verificar:
integral x^3-2 x^2+4x^3(x-2)^2 d x=14 ln |xx-2|-1x(1+12 x)-12 x-4+c

Passo 1

O enunciado pede para verificar se vale a igualdade
integral x^3-2x^2+4x^3(x-2)^2,dx = 14lnl|xx-2r| -1xl(1+12xr) -12x-4+C
O conteúdo aqui é integração de função racional via decomposição em frações parciais.

Passo 2

Propomos a decomposição
x^3-2x^2+4x^3(x-2)^2 =Ax+Bx^2+Cx^3 +Dx-2+E(x-2)^2
Multiplicando ambos os lados por x^3(x-2)^2 obtemos o polinômio
x^3-2x^2+4 = A,x^2(x-2)^2+B,x(x-2)^2+C,(x-2)^2 +D,x^3(x-2)+E,x^3

Passo 3

Expandindo e coletando coeficientes em potências de
Dessa forma , de segue , e de vem , . Finalmente, da equação do grau 3 obtemos .

Passo 4

Substituindo em cada fração parcial,
x^3-2x^2+4x^3(x-2)^2 =1/4x+1x^2+1x^3 -1/4x-2+1/2(x-2)^2

Passo 5

Integramos termo a termo:

Passo 6

Somando tudo e reunindo termos:
integral x^3-2x^2+4x^3(x-2)^2,dx =14ln|x|-14ln|x-2| -1x-12x^2-12(x-2)+C
Isso equivale a
14lnl|xx-2r| -1xl(1+12xr) -12x-4+C,
confirmando a igualdade.

Resposta

A igualdade dada está correta.

Exercícios relacionados