7a. Enunciar e resolver um problema associado a PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO.
Passo 1
O enunciado propõe um problema de otimização: um fabricante quer construir caixas retangulares sem tampa com volume fixo de \,V=32\,000\\ \text{cm}^3. O objetivo é determinar as dimensões da base (comprimento x e largura y) e a altura h de modo que a área de material utilizada seja mínima. Para resolver, vamos usar cálculo de derivadas e o método de multiplicadores de Lagrange indiretamente, reduzindo por uma restrição de volume.
Passo 2
Definimos as variáveis: x = comprimento da base (cm), y = largura da base (cm), h = altura da caixa (cm).
A restrição de volume impõe
Para minimizar A(x,y), calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
\frac{\partial A}{\partial x} = y - \frac{64\,000}{x^{2}} \quad\Rightarrow\quad y = \frac{64\,000}{x^{2}},
\frac{\partial A}{\partial y} = x - \frac{64\,000}{y^{2}} \quad\Rightarrow\quad x = \frac{64\,000}{y^{2}}.
Passo 5
Das duas equações, vemos simetria em x e y, sugerindo x=y. Substituindo y=x em x = 64\,000/x^{2}, temos
x^{3} = 64\,000 \quad\Rightarrow\quad x = \sqrt[\,3]{64\,000} = 40\\ \text{cm}.
Logo y=40\\ \text{cm}.
Passo 6
Determinamos h pela restrição de volume:
h = \frac{32\,000}{x\,y} = \frac{32\,000}{40\cdot40} = \frac{32\,000}{1\,600} = 20\\ \text{cm}.
Passo 7
Para confirmar que é mínimo, verificamos rapidamente o sinal das derivadas de segunda ordem ou notamos que, pelo formato de A(x,y) (soma de termos positivos que crescem muito para x,y\to0 ou \infty), esse ponto crítico é, de fato, mínimo global.
Resposta
As dimensões que minimizam a área são:
comprimento x = 40\\ \text{cm},
largura y = 40\\ \text{cm},
altura h = 20\\ \text{cm}.