5^{\text {a }}. Enunciar e apresentar uma aplicação associada ao TEOREMA DO VALOR MÉDIO para derivadas.

Passo 1

O enunciado pede para enunciar o Teorema do Valor Médio (ou Teorema de Lagrange) para derivadas e, em seguida, mostrar uma aplicação prática dele. O conteúdo principal é cálculo diferencial: vamos usar hipóteses de continuidade e derivabilidade para chegar a uma conclusão sobre o valor da derivada em algum ponto, e depois extrair daí um corolário útil.

Passo 2

Enunciado do Teorema do Valor Médio (Lagrange): seja f uma função que satisfaz
  1. f é contínua em [a,b],
  2. f é derivável em (a,b).
    Então existe pelo menos um ponto c\in(a,b) tal que
f'\text{(c)}\;=\;\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.

Passo 3

Aplicação: se f' é identicamente zero em (a,b), então f é constante em [a,b].
Demonstração usando o Teorema do Valor Médio: escolha quaisquer x_1,x_2\in[a,b] com x_1<x_2. Como f satisfaz as hipóteses do teorema em [x_1,x_2], existe c\in(x_1,x_2) tal que
f'\text{(c)}\;=\;\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}.
Por hipótese f'\text{(c)}=0, logo
0 \;=\;\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \quad\Longrightarrow\quad f(x_2)-f(x_1)=0 \quad\Longrightarrow\quad f(x_2)=f(x_1).
Como isso vale para quaisquer x_1,x_2, concluímos que f é constante em [a,b].

Resposta

Enunciado do Teorema do Valor Médio (Lagrange):
Seja f contínua em [a,b] e derivável em (a,b). Então existe c\in(a,b) tal que
f'\text{(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
Aplicação (corolário de constância):
Se f'(x)=0 para todo x\in(a,b), então f é constante em [a,b]. Isso se prova aplicando o Teorema do Valor Médio em qualquer subintervalo e observando que f'\text{(c)}=0 implica f(x_2)=f(x_1).

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