. Enunciar e apresentar uma aplicação associada ao TEOREMA DO VALOR MÉDIO para derivadas.
Passo 1
O enunciado pede para enunciar o Teorema do Valor Médio (ou Teorema de Lagrange) para derivadas e, em seguida, mostrar uma aplicação prática dele. O conteúdo principal é cálculo diferencial: vamos usar hipóteses de continuidade e derivabilidade para chegar a uma conclusão sobre o valor da derivada em algum ponto, e depois extrair daí um corolário útil.
Passo 2
Enunciado do Teorema do Valor Médio (Lagrange): seja
uma função que satisfaz
-
é contínua em , -
é derivável em .
Então existe pelo menos um pontotal que
Passo 3
Aplicação: se
é identicamente zero em
, então
é constante em
.
Demonstração usando o Teorema do Valor Médio: escolha quaisquer
com
. Como
satisfaz as hipóteses do teorema em
, existe
tal que
Por hipótese
, logo
Como isso vale para quaisquer
, concluímos que
é constante em
.
Resposta
Enunciado do Teorema do Valor Médio (Lagrange):
Seja contínua em
e derivável em
. Então existe
tal que
Seja
Aplicação (corolário de constância):
Se para todo
, então
é constante em
. Isso se prova aplicando o Teorema do Valor Médio em qualquer subintervalo e observando que
implica
.
Se