6 { }^{\text {a }}. Enunciar e resolver um problema associado a TAXAS RELACIONADAS.

Passo 1

Enunciado: Uma escada de comprimento 10 m está apoiada contra uma parede vertical. O pé da escada escorrega horizontalmente para longe da parede com velocidade de 1 m/s. Pergunta-se: com que velocidade a ponta da escada desliza para baixo no instante em que a base está a 6 m da parede?
Conteúdo: taxas relacionadas e derivação implícita de uma função implícita. Vamos relacionar as variáveis pela geometria do triângulo reto formado pela parede, pelo solo e pela escada.

Passo 2

Definimos as variáveis dependentes do tempo t:
x(t)= distância do pé da escada à parede (horizontal)
y(t)= altura da ponta da escada na parede (vertical)
Como a escada tem comprimento fixo 10 m, vale sempre
x(t)^2 + y(t)^2 = 10^2.

Passo 3

Diferenciamos essa relação em ambos os lados em relação a t, usando derivação implícita:
2x\,\frac{dx}{dt} + 2y\,\frac{dy}{dt} = 0.
Podemos simplificar dividindo por 2:
x\,\frac{dx}{dt} + y\,\frac{dy}{dt} = 0.

Passo 4

No instante considerado temos x=6 m e \frac{dx}{dt}=1 m/s. A altura corresponde a
y = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = 8\text{ m}.
Substituindo em x\,\frac{dx}{dt} + y\,\frac{dy}{dt} = 0,
6\cdot 1 + 8\cdot \frac{dy}{dt} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dt} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}\\ \text{m/s}.

Resposta

A ponta da escada desliza para baixo com velocidade de -\tfrac{3}{4} m/s (ou seja, 0{,}75 m/s para baixo) no instante em que o pé está a 6 m da parede.

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