7a) (a) lim x 1 x^2-3 x+2x^3-x^2+x-1
7b) (b) lim x a raizx-raizax-a
7c) © lim x 0^- x sen(x)1-cos (x)
7d) (d) lim x 0 x sen(1x)
7e) (e) lim x 1 raizx-1raiz2 x+3-raiz5
7f) (f) lim x pi sen(x-pi)x-pi
7g) (g) lim x 1^+ x^2-5 x+4|x-1|
7h) (h) lim x a x^n-a^nx-a
7i) (i) lim x a raiz[3]x-raiz[3]ax-a

Passo 1

Este exercício traz nove limites (a) até (i) envolvendo funções racionais, radicais, trigonométricas e absolutas. Vamos usar técnicas de fatoração de polinômios, racionalização de radicais, o limite trigonométrico fundamental limxto0sin xx=1 e propriedades de limites para resolver cada item.

Passo 2

Para (a), note que x^2-3x+2=(x-1)(x-2) e x^3-x^2+x-1=(x-1)(x^2+1). Cancelando o fator x-1 e substituindo xto1 ficamos com
x-2x^2+1|x=1=1-21+1=-tfrac12,

Passo 3

Para (b), racionalizamos multiplicando numerador e denominador por raiz x+raiz a:
raiz x-raiz ax-acdotraiz x+raiz araiz x+raiz a=x-a(x-a)(raiz x+raiz a)=1raiz x+raiz a Substituindo xto a 1/(2raiz a).

Passo 4

Para ©, para xto0^- usamos as expansões sin xapprox x e 1-cos xapprox x^2/2. Assim
x,sin x1-cos xapproxxcdot xx^2/2=2

Passo 5

Para (d), como sin(1/x) é limitado entre -1 e 1, temos
|xsin(1/x)|<=|x|to0( xto0), logo o limite é 0.

Passo 6

Em (e), temos indeterminação 0/0. Racionalizamos ambos:
[\sqrt x-1=\frac{x-1}{\sqrt x+1},\quad\sqrt{2x+3}-\sqrt5=\frac{2x-2}{\sqrt{2x+3}+\sqrt5}=\frac{2(x-1)}{\sqrt{2x+3}+\sqrt5}.

Resposta

(a) -\tfrac12; (b) \tfrac1{2\sqrt a}; © 2; (d) 0; (e) \tfrac{\sqrt5}2; (f) 1; (g) -3; (h) n a^{n-1}; (i) \tfrac1{3a^{2/3}}

Exercícios relacionados