Mostre que as seguintes coordenadas são coordenadas curvilíneas, encontre os fatores de escala , o gradiente, o divergente, o rotacional e o Laplaciano: .
Passo 1
O enunciado dá a transformação de coordenadas de parabolas no plano mais a coordenada z: e pede para mostrar que são coordenadas curvilíneas ortogonais, achar os fatores de escala , e então escrever explictamente o gradiente, a divergência, o rotacional e o Laplaciano nessas coordenadas.
Passo 2
Escrevemos o vetor posição em função de :ou sejae calculamos as derivadas parciais:
Passo 3
Mostramos que o sistema é ortogonal verificando que os produtos escalares , e são todos zero.
Passo 4
Os fatores de escala definem-se por . Aquih1=l| (u,v,0)r|=raizu^2+v^2, h2=l|(-v,u,0)r|=raizu^2+v^2, h3=l|(0,0,1)r|=1
Passo 5
Definimos os vetores de base unitários ortogonais: hat eu=1h1(u,,v,,0), hat ev=1h2(-v,,u,,0), hat ez=(0,,0,,1)
Passo 6
O gradiente de uma função escalar Phi(u,v,z) em coordenadas ortogonais énablaPhi=hat eu1h1partialPhipartial u+hat ev1h2partialPhipartial v+hat ez1h3partialPhipartial zSubstituindo h1=h2=raizu^2+v^2,;h3=1 obtemos o gradiente.
Passo 7
A divergência de um campo vetorial A=Auhat eu+Avhat ev+Azhat ez é dada pornablacdot A=1h1h2h3l[partialpartial u(h2h3Au)+partialpartial v(h3h1Av)+partialpartial z(h1h2Az)r]Substituindo os hi chegamos à fórmula explícita.
Passo 8
O rotacional em coordenadas ortogonais usa a forma(nablatimes A)u=1h2h3l[partialpartial v(h3Az)-partialpartial z(h2Av)r],e ciclamos para as outras componentes. Novamente basta pôr h1=h2=raizu^2+v^2,;h3=1.
Passo 9
O Laplaciano escalar segue a expressãonabla^2Phi=1h1h2h3l[partialpartial ul(h2h3h1partialPhipartial ur)+partialpartial vl(h3h1h2partialPhipartial vr)+partialpartial zl(h1h2h3partialPhipartial zr)r]Substituindo os hi obtemos o Laplaciano na coordenada parabolica.
Resposta
Fatores de escala:\ h_1=h_2=\sqrt{u2+v2},\quad h_3=1\
Gradiente de Phi:\ nablaPhi=hat eu1raizu^2+v^2partialPhipartial u+hat ev1raizu^2+v^2partialPhipartial v+hat ezpartialPhipartial z \
Divergência de A:\ nablacdot A=1u^2+v^2l[partialpartial ul(raizu^2+v^2,Aur)+partialpartial vl(raizu^2+v^2,Avr)r]+partial Azpartial z \
Rotacional de A:\ (nablatimes A)u=1u^2+v^2l[partial Azpartial v-partialpartial z(raizu^2+v^2,Av)r], \ e ciclando para as outras duas componentes trocando uto vto z.\
Laplaciano de Phi:\ nabla^2Phi=1u^2+v^2l[partialpartial ul(raizu^2+v^2,partialPhipartial ur)+partialpartial vl(raizu^2+v^2,partialPhipartial vr)r]+partial^2Phipartial z^2