Mostre que as seguintes coordenadas são coordenadas curvilíneas, encontre os fatores de escala h1, h2, h3, o gradiente, o divergente, o rotacional e o Laplaciano:
x=12(u^2-v^2), y=u v, z=z.

Passo 1

O enunciado dá a transformação de coordenadas de parabolas no plano mais a coordenada z: x=tfrac12(u^2-v^2), y = uv, z=z e pede para mostrar que são coordenadas curvilíneas ortogonais, achar os fatores de escala h1,h2,h3, e então escrever explictamente o gradiente, a divergência, o rotacional e o Laplaciano nessas coordenadas.

Passo 2

Escrevemos o vetor posição em função de u,v,z: r(u,v,z)=x(u,v),hatimath + y(u,v),hatjmath + z,hat kou seja r=(tfrac12(u^2-v^2),;u v,;z)e calculamos as derivadas parciais: partial rpartial u=(u,;v,;0), partial rpartial v=(-v,;u,;0), partial rpartial z=(0,;0,;1)

Passo 3

Mostramos que o sistema é ortogonal verificando que os produtos escalares partial rpartial ucdotpartial rpartial v, partial rpartial ucdotpartial rpartial z e partial rpartial vcdotpartial rpartial z são todos zero.

Passo 4

Os fatores de escala definem-se por hi=l|partial r/partial qir|. Aqui h1=l| (u,v,0)r|=raizu^2+v^2, h2=l|(-v,u,0)r|=raizu^2+v^2, h3=l|(0,0,1)r|=1

Passo 5

Definimos os vetores de base unitários ortogonais: hat eu=1h1(u,,v,,0), hat ev=1h2(-v,,u,,0), hat ez=(0,,0,,1)

Passo 6

O gradiente de uma função escalar Phi(u,v,z) em coordenadas ortogonais é nablaPhi=hat eu1h1partialPhipartial u+hat ev1h2partialPhipartial v+hat ez1h3partialPhipartial zSubstituindo h1=h2=raizu^2+v^2,;h3=1 obtemos o gradiente.

Passo 7

A divergência de um campo vetorial A=Auhat eu+Avhat ev+Azhat ez é dada por nablacdot A=1h1h2h3l[partialpartial u(h2h3Au)+partialpartial v(h3h1Av)+partialpartial z(h1h2Az)r]Substituindo os hi chegamos à fórmula explícita.

Passo 8

O rotacional em coordenadas ortogonais usa a forma (nablatimes A)u=1h2h3l[partialpartial v(h3Az)-partialpartial z(h2Av)r],e ciclamos para as outras componentes. Novamente basta pôr h1=h2=raizu^2+v^2,;h3=1.

Passo 9

O Laplaciano escalar segue a expressão nabla^2Phi=1h1h2h3l[partialpartial ul(h2h3h1partialPhipartial ur)+partialpartial vl(h3h1h2partialPhipartial vr)+partialpartial zl(h1h2h3partialPhipartial zr)r]Substituindo os hi obtemos o Laplaciano na coordenada parabolica.

Resposta

Fatores de escala:\ h_1=h_2=\sqrt{u2+v2},\quad h_3=1\
Gradiente de Phi:\ nablaPhi=hat eu1raizu^2+v^2partialPhipartial u+hat ev1raizu^2+v^2partialPhipartial v+hat ezpartialPhipartial z \
Divergência de A:\ nablacdot A=1u^2+v^2l[partialpartial ul(raizu^2+v^2,Aur)+partialpartial vl(raizu^2+v^2,Avr)r]+partial Azpartial z \
Rotacional de A:\ (nablatimes A)u=1u^2+v^2l[partial Azpartial v-partialpartial z(raizu^2+v^2,Av)r], \ e ciclando para as outras duas componentes trocando uto vto z.\
Laplaciano de Phi:\ nabla^2Phi=1u^2+v^2l[partialpartial ul(raizu^2+v^2,partialPhipartial ur)+partialpartial vl(raizu^2+v^2,partialPhipartial vr)r]+partial^2Phipartial z^2

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