Mostre que as seguintes coordenadas são coordenadas curvilíneas, encontre os fatores de escala , o gradiente, o divergente, o rotacional e o Laplaciano: .
Passo 1
O problema define um sistema de coordenadas pelo mapeamento
x = a cosh u cos v,
y = a sinh u sin v,
z = z
e pede pra mostrar que esse sistema é curvilíneo (ortogonal), achar os fatores de escala h₁,h₂,h₃ e montar as expressões do gradiente, divergente, rotacional e Laplaciano. Vamos usar vetores base covariantes, fatores de escala e as fórmulas padrão em coordenadas ortogonais.
Passo 2
A gente escreve o vetor posição
Então calcula as derivadas parciais para obter
$$\mathbf{e}_u=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u},\quad
Com esses fatores de escala montamos as bases unitárias
ei=eihi,
e usamos a fórmula geral do gradiente em coordenadas ortogonais: nabla f=sumi=1^3 ei1hipartial fpartial qi
Passo 5
Substituindo hu=hv=H=araizsinh^2u+sin^2v e hz=1 na fórmula do gradiente, obtemos
nabla f=euHpartial fpartial u +evHpartial fpartial v +ezpartial fpartial z
Passo 6
Para o divergente de um campo A=Aueu+Avev+Azez usamos:
nablacdotA=1h1h2h3l[partialu(h2h3Au)+partialv(h1h3Av)+partialz(h1h2Az)r],
que com nossos h dá nablacdotA=1H^2l[partialpartial u(H Au)+partialpartial v(H Av)r]+partial Azpartial z
Passo 7
O rotacional vem da expressão padrão em coordenadas ortogonais:
que ao substituir hu=hv=H,;hz=1 gera as fórmulas detalhadas.
Passo 8
Por fim, o Laplaciano de uma função escalar é dado por
nabla^2 f=1h1h2h3sumi=1^3 partialpartial qil(h2h3hipartial fpartial qir),
que com nossos fatores reduz para
$$\nabla^2 f=\frac{1}{H^2}\Bigl[\partial_u\bigl(H\partial_u f\bigr)+\partial_v\bigl(H\partial_v f\bigr)\Bigr]+\partial^2_z f.