Mostre que as seguintes coordenadas são coordenadas curvilíneas, encontre os fatores de escala h1, h2, h3, o gradiente, o divergente, o rotacional e o Laplaciano:
x=a cosh u cos v, y=a sinh u sin v, z=z.

Passo 1

O problema define um sistema de coordenadas pelo mapeamento
x = a cosh u cos v,
y = a sinh u sin v,
z = z
e pede pra mostrar que esse sistema é curvilíneo (ortogonal), achar os fatores de escala h₁,h₂,h₃ e montar as expressões do gradiente, divergente, rotacional e Laplaciano. Vamos usar vetores base covariantes, fatores de escala e as fórmulas padrão em coordenadas ortogonais.

Passo 2

A gente escreve o vetor posição
r(u,v,z)=acosh ucos v,i+asinh usin v,j+z,k
Então calcula as derivadas parciais para obter
$$\mathbf{e}_u=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u},\quad
\mathbf{e}_v=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v},\quad
\mathbf{e}_z=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial z}.$$
Mostramos que eu=partialrpartial u, ev=partialrpartial v, ez=partialrpartial z e eucdotev=0 é perpendicular aos outros, logo o sistema é ortogonal.

Passo 3

Os fatores de escala são
hi=l|eir|
Calculando as normas de eu e ev
$$h_u=h_v=a\sqrt{\sinh2u\cos2v+\cosh2u\sin2v}
= a\sqrt{\sinh2u+\sin2v}, hu=hv=araizsinh^2ucos^2v+cosh^2usin^2v = araizsinh^2u+sin^2v,h_z=1.$$

Passo 4

Com esses fatores de escala montamos as bases unitárias
ei=eihi,
e usamos a fórmula geral do gradiente em coordenadas ortogonais:
nabla f=sumi=1^3 ei1hipartial fpartial qi

Passo 5

Substituindo hu=hv=H=araizsinh^2u+sin^2v e hz=1 na fórmula do gradiente, obtemos
nabla f=euHpartial fpartial u +evHpartial fpartial v +ezpartial fpartial z

Passo 6

Para o divergente de um campo A=Aueu+Avev+Azez usamos:
nablacdotA=1h1h2h3l[partialu(h2h3Au)+partialv(h1h3Av)+partialz(h1h2Az)r],
que com nossos h
nablacdotA=1H^2l[partialpartial u(H Au)+partialpartial v(H Av)r]+partial Azpartial z

Passo 7

O rotacional vem da expressão padrão em coordenadas ortogonais:
(nablatimesA)u=1h2h3l[partialv(h3Az)-partialz(h2Av)r],
(nablatimesA)v=1h3h1l[partialz(h1Au)-partialu(h3Az)r],
(nablatimesA)z=1h1h2l[partialu(h2Av)-partialv(h1Au)r],
que ao substituir hu=hv=H,;hz=1 gera as fórmulas detalhadas.

Passo 8

Por fim, o Laplaciano de uma função escalar é dado por
nabla^2 f=1h1h2h3sumi=1^3 partialpartial qil(h2h3hipartial fpartial qir),
que com nossos fatores reduz para
$$\nabla^2 f=\frac{1}{H^2}\Bigl[\partial_u\bigl(H\partial_u f\bigr)+\partial_v\bigl(H\partial_v f\bigr)\Bigr]+\partial^2_z f.
$$

Resposta

h_u = h_v = a\sqrt{\sinh^2u + \sin^2v}, \quad h_z = 1
Gradiente:
nabla f = euaraizsinh^2u+sin^2vpartial fpartial u + evaraizsinh^2u+sin^2vpartial fpartial v + ezpartial fpartial z
Divergente:
nablacdot A = 1a^2(sinh^2u+sin^2v)l[partialpartial ul(araizsinh^2u+sin^2v,Aur) + partialpartial vl(araizsinh^2u+sin^2v,Avr)r] + partial Azpartial z
Rotacional:
(nablatimes A)u = 1araizsinh^2u+sin^2vl[partial Azpartial v - partialpartial zl(araizsinh^2u+sin^2v,Avr)r],
(nablatimes A)v = 1araizsinh^2u+sin^2vl[partialpartial zl(araizsinh^2u+sin^2v,Aur) - partial Azpartial ur],
(nablatimes A)z = 1a^2(sinh^2u+sin^2v)l[partialpartial ul(araizsinh^2u+sin^2v,Avr) - partialpartial vl(araizsinh^2u+sin^2v,Aur)r]
Laplaciano:
nabla^2 f = 1a^2(sinh^2u+sin^2v)l[partialpartial ul(araizsinh^2u+sin^2v,partialu fr) + partialpartial vl(araizsinh^2u+sin^2v,partialv fr)r] + partial^2 fpartial z^2

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