Mostre que as seguintes coordenadas são coordenadas curvilíneas, encontre os fatores de escala h1, h2, h3, o gradiente, o divergente, o rotacional e o Laplaciano:
x=r sin alpha cos phi, y=r sin alpha sin phi, z=r cos alpha.

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação para coordenadas esféricas clássicas:
x = rsinalphacosphi,;y = rsinalphasinphi,;z = rcosalpha. O conteúdo é sistemas de coordenadas curvilíneas ortogonais e os operadores vetoriais (gradiente, divergente, rotacional, Laplaciano) nesses sistemas. Para resolver vamos usar a definição de vetores tangentes, fatores de escala hi e as fórmulas gerais para operadores em coordenadas ortogonais.

Passo 2

Para mostrar que são coordenadas curvilíneas ortogonais, construímos os vetores tangentes:
er=partialrpartial r,ealpha=partialrpartial alpha,ephi=partialrpartial phi
Calculamos os produtos escalares eicdotej e vemos que são zero para ineq j, logo o sistema é ortogonal.

Passo 3

Os fatores de escala são as normas dos vetores tangentes:
hr=|er|=1, halpha=|ealpha|=r, hphi=|ephi|=rsinalpha

Passo 4

O gradiente de uma função f(r,alpha,phi) em coordenadas ortogonais é
nabla f=sumi=1^3eihipartial fpartial ui
Substituindo os hi e nomeando er,ealpha,ephi, obtemos a forma esférica.

Passo 5

A divergente de um campo A=Arer+Aalphaealpha+Aphiephi em coordenadas ortogonais é
nablacdotA=1h1h2h3sumi=1^3partialpartial uil(h1h2h3Aihir)
Substituindo os fatores de escala chega-se à expressão esférica.

Passo 6

O rotacional é dado pela fórmula geral para coordenadas ortogonais:
nablatimesA=sumi=1^3ei1hjhkl(partialpartial uj(hkAk)-partialpartial uk(hjAj)r),
onde (i,j,k) é ciclo de (1,2,3). Substituindo hi dá a forma conhecida em esféricas.

Passo 7

O Laplaciano de f é De. Aplicando a divergente ao gradiente e simplificando nos dá a forma usual do Laplaciano em coordenadas esféricas.

Resposta

hr=1, halpha=r, hphi=rsinalpha
nabla f=erpartial fpartial r+ealpha1rpartial fpartial alpha+ephi1rsinalphapartial fpartial phi
nablacdotA=1r^2sinalphal[partialpartial r(r^2sinalpha,Ar)+partialpartialalpha(rsinalpha,Aalpha)+partialpartialphi(r,Aphi)r]
nablatimesA=er1rsinalphal[partialpartialalpha(sinalpha,Aphi)-partial Aalphapartialphir] +ealpha1rl[1sinalphapartial Arpartialphi-partialpartial r(r,Aphi)r] +ephi1rl[partialpartial r(r,Aalpha)-partial Arpartialalphar]
De

Exercícios relacionados