Mostre que as seguintes coordenadas são coordenadas curvilíneas, encontre os fatores de escala , o gradiente, o divergente, o rotacional e o Laplaciano: .
Passo 1
O enunciado nos dá a transformação para coordenadas esféricas clássicas: . O conteúdo é sistemas de coordenadas curvilíneas ortogonais e os operadores vetoriais (gradiente, divergente, rotacional, Laplaciano) nesses sistemas. Para resolver vamos usar a definição de vetores tangentes, fatores de escala e as fórmulas gerais para operadores em coordenadas ortogonais.
Passo 2
Para mostrar que são coordenadas curvilíneas ortogonais, construímos os vetores tangentes:
Calculamos os produtos escalares e vemos que são zero para , logo o sistema é ortogonal.
Passo 3
Os fatores de escala são as normas dos vetores tangentes:
Passo 4
O gradiente de uma função f(r,alpha,phi) em coordenadas ortogonais é
nabla f=sumi=1^3eihipartial fpartial ui
Substituindo os hi e nomeando er,ealpha,ephi, obtemos a forma esférica.
Passo 5
A divergente de um campo A=Arer+Aalphaealpha+Aphiephi em coordenadas ortogonais é
nablacdotA=1h1h2h3sumi=1^3partialpartial uil(h1h2h3Aihir)
Substituindo os fatores de escala chega-se à expressão esférica.
Passo 6
O rotacional é dado pela fórmula geral para coordenadas ortogonais:
nablatimesA=sumi=1^3ei1hjhkl(partialpartial uj(hkAk)-partialpartial uk(hjAj)r),
onde (i,j,k) é ciclo de (1,2,3). Substituindo hi dá a forma conhecida em esféricas.
Passo 7
O Laplaciano de f é De. Aplicando a divergente ao gradiente e simplificando nos dá a forma usual do Laplaciano em coordenadas esféricas.