7a Questão: Usando a equação de difusão de calor em uma dimensão, ache a temperatura u(x, t) em um ponto x de uma barra de comprimento L, sabendo que, c^2=1, u(0, t)=T1, u(L, t)=10 T1 e u(x, 0)=T1(1+xL).

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação de difusão de calor unidimensional
ut=uxx, 0<x<L,;t>0
com c^2=1, sujeita às condições de contorno
u(0,t)=T1, u(L,t)=10,T1
e condição inicial
u(x,0)=T1l(1+xLr)
Vamos usar o método de separar a solução em termo de regime permanente mais um termo transiente, e então expandir este último em série de senos.

Passo 2

Procuramos primeiro a solução em regime permanente Us(x), que não depende de t e satisfaz
Us''(x)=0, Us(0)=T1,;Us(L)=10,T1
Da equação Us''=0 temos
Us(x)=A,x+B
Impondo Us(0)=B=T1 e Us(L)=A,L+T1=10,T1, obtemos
A=9,T1L,
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Us(x)=T1+9,T1L,x = T1l(1+9,xLr)

Passo 3

Definimos o termo transiente
v(x,t)=u(x,t)-Us(x)
Então v satisfaz
vt=vxx, v(0,t)=0,;v(L,t)=0,
e a condição inicial
v(x,0)=u(x,0)-Us(x) =T1l(1+xLr) - T1l(1+9,xLr) =-8,T1,xL

Passo 4

Pelo método da separação de variáveis, escrevemos
v(x,t)=sumn=1^inftyBn,sin!l(tfracnpi xLr), e^-,n^2pi^2t/L^2
Os coeficientes vêm de
Bn=2Lintegral0^Lv(x,0),sin!l(tfracnpi xLr),dx =2Lintegral0^Ll(-8,T1,tfracxLr)sin!l(tfracnpi xLr),dx
Usando integração por partes ou fórmula padrão, obtém-se
integral0^Lxsin!l(tfracnpi xLr),dx =-L^2npi(-1)^n
e portanto
Bn =2Ll(-8,T1/Lr)l(-L^2npi(-1)^nr) =16,T1(-1)^nnpi

Passo 5

A solução completa é
u(x,t)=Us(x)+v(x,t) =T1l(1+9,xLr) +sumn=1^infty16,T1(-1)^nnpi, sin!l(npi xLr), e^-,n^2pi^2t/L^2

Resposta

u(x,t) =T1l(1+9,xLr) +sumn=1^infty16,T1(-1)^nnpi sin!l(npi xLr) exp!l(-n^2pi^2tL^2r)

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