7a Questão: Usando a equação de difusão de calor em uma dimensão, ache a temperatura
em um ponto
de uma barra de comprimento
, sabendo que,
,
e
.
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação de difusão de calor unidimensional
com
, sujeita às condições de contorno
e condição inicial
Vamos usar o método de separar a solução em termo de regime permanente mais um termo transiente, e então expandir este último em série de senos.
Passo 2
Procuramos primeiro a solução em regime permanente
, que não depende de
e satisfaz
Da equação
temos
Impondo
e
, obtemos
logo
Passo 3
Definimos o termo transiente
Então
satisfaz
e a condição inicial
Passo 4
Pelo método da separação de variáveis, escrevemos
Os coeficientes vêm de
Usando integração por partes ou fórmula padrão, obtém-se
e portanto
Passo 5
A solução completa é