Considere um condutor cilíndrico maciço de raio igual a 5 cm e comprimento igual a 10 m . Suponha que: i) o campo vetorial densidade de fluxo magnético em seu interior seja igual a 5 rho aphi T; ii) este condutor seja percorrido por uma corrente cujo campo vetorial intensidade de campo elétrico é igual a 3rho az V / m e iii) a condutividade elétrica do condutor é igual a 2 times 10^6 S / m. Determine: a) a indutância interna deste condutor e b) a corrente elétrica que percorre o condutor.

Passo 1

O enunciado descreve um condutor cilíndrico maciço de raio a=5 cm=0,05 m e comprimento l=10 m. No interior há um campo magnético
B=5,rho,aphi(em tesla)
e um campo elétrico
E=3rho,az(em V/m),
com condutividade sigma=2times10^6 S/m. Precisamos achar
a) a indutância interna Lrm int do condutor, usando a energia magnética armazenada, e
b) a corrente elétrica I que percorre o condutor, a partir de J=sigmaE.

Passo 2

Calcular a corrente total I. A densidade de corrente é
J=sigmaE =;2times10^6;3rho,az =6times10^6rho,az(A/m^2)
Integrando sobre a seção circular ( dA=rho,drho,dphi):
I =integral0^2pi!!integral0^aJ!z,rho,drho,dphi =integral0^2pi!!integral0^0,056times10^6rho,rho,drho,dphi =6times10^6,2piintegral0^0,05drho =6times10^6,2pi,(0,05)

Passo 3

Avalia-se a integral:
I=6times10^6times2pitimes0,05 =6times10^5,pi(A) approx1,88times10^6 A

Passo 4

Calcular a energia magnética armazenada W no interior, usando
W=12mu0integral!VB^2,dV,
onde mu0=4pitimes10^-7 H/m e
B^2=(5rho)^2=25,rho^2
No volume V de um cilindro de raio a e comprimento l,
integral!VB^2,dV =integral0^lintegral0^2piintegral0^a25,rho^2,rho,drho,dphi,dz =25,2pi,lintegral0^arho^3drho =25,2pi,la^44 =25pi2,l,a^4
Logo,
W =12mu0cdot25pi2,l,a^4 =25pi,l,a^44,mu0

Passo 5

Determinar Lrm int pela relação W=tfrac12L,I^2, ou seja
Lrm int =2WI^2 =2I^2cdot25pi,l,a^44,mu0 =25pi,l,a^42,mu0,I^2
Substituindo l=10, a=0,05, mu0=4pitimes10^-7 e I=6times10^5pi:
Lrm int approx5,5times10^-10 H

Resposta

a) Lrm intapprox5,5times10^-10 H
b) I=6times10^5,pi Aapprox1,88times10^6 A

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