5.7B Verifique que as funções
e
são soluções do p.v.i.
. Por que esse exemplo não viola o Teorema de Existência e Unicidade?
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial
que é uma equação de primeira ordem, linear e homogênea. Vamos verificar que as funções
e
satisfazem tanto a equação diferencial quanto a condição
. Depois, explicamos por que o Teorema de Existência e Unicidade não proíbe duas soluções.
Passo 2
Verificação de
:
Se para todo
, então
Se
e substituindo em
temos
Além disso,
coincide com a condição inicial. Logo,
é solução.
Passo 3
Verificação de
:
Neste caso
Neste caso
então
E claramente
. Assim,
também satisfaz o p.v.i.
Passo 4
Por que não há violação do Teorema de Existência e Unicidade?
Para aplicar o teorema clássico precisamos reescrever a equação na forma
Para aplicar o teorema clássico precisamos reescrever a equação na forma
e exigir que
e
sejam contínuas num retângulo que contenha
. Aqui
logo
Nenhuma dessas funções é contínua em
(há divisão por zero). Como o ponto inicial
cai justamente onde
é singular, as hipóteses do teorema não valem, e por isso não há contradição em existirem duas soluções.
Resposta
As duas funções verificam o p.v.i. porque ambas satisfazem
e
. O Teorema de Existência e Unicidade não se aplica em
porque
e
não são contínuos naquela abscissa, de modo que não há violação do teorema.