5.7B Verifique que as funções y equiv 0 e y(x)=x^2 são soluções do p.v.i. x y^prime-2 y=0, y(0)=0. Por que esse exemplo não viola o Teorema de Existência e Unicidade?

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial
x,y' - 2y = 0, y(0)=0,
que é uma equação de primeira ordem, linear e homogênea. Vamos verificar que as funções yequiv0 e y(x)=x^2 satisfazem tanto a equação diferencial quanto a condição y(0)=0. Depois, explicamos por que o Teorema de Existência e Unicidade não proíbe duas soluções.

Passo 2

Verificação de yequiv0:
Se y(x)=0 para todo x, então
y'(x)=0
e substituindo em x,y'-2y temos
xcdot0 - 2cdot0 = 0
Além disso, y(0)=0 coincide com a condição inicial. Logo, yequiv0 é solução.

Passo 3

Verificação de y(x)=x^2:
Neste caso
y'(x)=2x,
então
x,y'(x) - 2,y(x) = xcdot(2x) - 2,(x^2) = 2x^2 - 2x^2 = 0
E claramente y(0)=0^2=0. Assim, y(x)=x^2 também satisfaz o p.v.i.

Passo 4

Por que não há violação do Teorema de Existência e Unicidade?
Para aplicar o teorema clássico precisamos reescrever a equação na forma
y' = f(x,y)
e exigir que f e partial f/partial y sejam contínuas num retângulo que contenha (0,0). Aqui
y' = 2yx,
logo
f(x,y) = 2yx, partial fpartial y = 2x
Nenhuma dessas funções é contínua em x=0 (há divisão por zero). Como o ponto inicial x=0 cai justamente onde f é singular, as hipóteses do teorema não valem, e por isso não há contradição em existirem duas soluções.

Resposta

As duas funções verificam o p.v.i. porque ambas satisfazem x,y'-2y=0 e y(0)=0. O Teorema de Existência e Unicidade não se aplica em x=0 porque f(x,y)=2y/x e partial f/partial y=2/x não são contínuos naquela abscissa, de modo que não há violação do teorema.

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