Exercício 3. Mostre que todo ponto de mínimo local de uma função convexa é ponto de mínimo global. Além disso, mostre que o conjunto dos pontos de mínimo é convexo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas coisas sobre uma função convexa
, onde
é convexo:
- Qualquer ponto de mínimo local de
é também ponto de mínimo global. - O conjunto dos pontos de mínimo de
é um conjunto convexo.
Para isso vamos usar a definição de convexidade
para todo
e todo
, além da definição de mínimo local.
Passo 2
Prova de que mínimo local implica mínimo global.
Seja um ponto de mínimo local. Por definição existe
tal que
Seja
Agora tome um ponto arbitrário
. Para cada
definimos o ponto
que pertence a
pois
é convexo. Note que
é menor que
sempre que
for suficientemente pequeno. Logo, para esse
pequeno vale
(pela propriedade de mínimo local) e, pela convexidade de
,
Combinando as duas desigualdades vem
já que
. Como
era arbitrário,
é mínimo global.
Passo 3
Prova de que o conjunto de mínimos é convexo.
Defina
Defina
Sejam
, ou seja
. Para qualquer
considere o ponto
Pela convexidade,
Por definição de
como ínfimo temos sempre
. Portanto
e
. Assim
é convexo.
Resposta
Concluímos que em funções convexas todo mínimo local é mínimo global e que o conjunto de pontos de mínimo é um conjunto convexo.