Exercício 3. Mostre que todo ponto de mínimo local de uma função convexa é ponto de mínimo global. Além disso, mostre que o conjunto dos pontos de mínimo é convexo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas coisas sobre uma função convexa fcolon DtoR, onde DsubseteqR^n é convexo:
  1. Qualquer ponto de mínimo local de f é também ponto de mínimo global.
  2. O conjunto dos pontos de mínimo de f é um conjunto convexo.
Para isso vamos usar a definição de convexidade
fl((1-t)x + t yr);<=;(1-t)f(x) + t,f(y)
para todo x,yin D e todo tin[0,1], além da definição de mínimo local.

Passo 2

Prova de que mínimo local implica mínimo global.
Seja x^*in D um ponto de mínimo local. Por definição existe varepsilon>0 tal que
|x - x^*| < varepsilon Longrightarrow f(x) >= f(x^*) ,
Agora tome um ponto arbitrário xin D. Para cada tin[0,1] definimos o ponto
xt = (1-t),x^* + t,x,
que pertence a D pois D é convexo. Note que
|xt - x^*| ;=; t,|x - x^*|
é menor que varepsilon sempre que t for suficientemente pequeno. Logo, para esse t>0 pequeno vale
f(xt);>=;f(x^*)
(pela propriedade de mínimo local) e, pela convexidade de f,
f(xt);<=;(1-t)f(x^*) + t,f(x)
Combinando as duas desigualdades vem
f(x^*) ;<=;(1-t)f(x^*) + t,f(x) ;Longrightarrow; 0 ;<=;tl(f(x)-f(x^*)r) ;Longrightarrow; f(x);>=;f(x^*),
já que t>0. Como x era arbitrário, x^* é mínimo global.

Passo 3

Prova de que o conjunto de mínimos é convexo.
Defina
m = infxin D f(x), M = ,xin D : f(x)=m
Sejam x1,x2in M, ou seja f(x1)=f(x2)=m. Para qualquer tin[0,1] considere o ponto
xt = (1-t),x1 + t,x2in D
Pela convexidade,
f(xt);<=;(1-t)f(x1) + t,f(x2) ;=; (1-t)m + t,m ;=; m
Por definição de m como ínfimo temos sempre f(xt)>= m. Portanto f(xt)=m e xtin M. Assim M é convexo.

Resposta

Concluímos que em funções convexas todo mínimo local é mínimo global e que o conjunto de pontos de mínimo é um conjunto convexo.

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