1. Seja f(x)=lcos x, se x<0, raiz1-x^2, se 0 <= x <= 1, x^2-2, se x>1 Determine todos os números onde f(x) é contínua.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= cos x, & x<0, raiz1-x^2, & 0<= x<=1, x^2-2, & x>1,
e pede todos os pontos em que f é contínua. Vamos usar que funções elementares (cosseno, raiz quadrada em seu domínio e polinômios) são contínuas em seus domínios e depois verificar os pontos de “troca de ramo” x=0 e x=1 com definição de continuidade (limite à esquerda = limite à direita = valor).

Passo 2

Em cada parte longe das fronteiras a continuidade é automática:
  • Para x<0, cos x é contínua em (-infty,0).
  • Para 0<x<1, raiz1-x^2 é contínua em (0,1).
  • Para x>1, x^2-2 é contínua em (1,infty).

Passo 3

Verificação em x=0:
limxto0^-f(x)=limxto0^-cos x=cos0=1,
f(0)=raiz1-0^2=1,
limxto0^+f(x)=limxto0^+raiz1-x^2=raiz1=1
Como os três valores coincidem, f é contínua em x=0.

Passo 4

Verificação em x=1:
limxto1^-f(x)=limxto1^-raiz1-x^2=raiz1-1=0,
f(1)=raiz1-1^2=0,
limxto1^+f(x)=limxto1^+(x^2-2)=1-2=-1
A descontinuidade na direita ( 0neq -1) mostra que f não é contínua em x=1.

Passo 5

Concluímos que f é contínua em todos os pontos exceto em x=1.

Resposta

f é contínua em (-infty,1)cup(1,infty), isto é, em todo R salvo x=1.

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