Encontre a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função f(x, y) dada, no ponto P dado.
f(x, y)=3 x^2-4 y^2, P=(0,0,0)

Passo 1

O enunciado dá a superfície z=f(x,y)=3x^2-4y^2 e o ponto P=(0,0,0) sobre esse gráfico. Queremos achar o plano tangente e a reta normal à superfície em P. Para isso vamos usar as derivadas parciais de f e o vetor gradiente de
F(x,y,z)=f(x,y)-z
que gera a normal ao gráfico.

Passo 2

Calcule as derivadas parciais de f:
fx(x,y)=partialpartial x(3x^2-4y^2)=6x, fy(x,y)=partialpartial y(3x^2-4y^2)=-8y

Passo 3

Avalie em (0,0):
fx(0,0)=6cdot0=0, fy(0,0)=-8cdot0=0, f(0,0)=0
A equação do plano tangente em P vem de
z-z0 = fx(x0,y0),(x-x0)+fy(x0,y0),(y-y0),
logo
z-0 = 0,(x-0)+0,(y-0) Longrightarrow z = 0

Passo 4

O vetor normal ao gráfico em P é dado por
nabla F(x,y,z) =l(fx,fy,-1r),
então em P
nabla F(0,0,0) = (0,0,-1)
Podemos adotar (0,0,1) como direção da reta normal.

Passo 5

A reta normal que passa por P e tem direção (0,0,1) é
r(t) = (0,0,0) + t,(0,0,1),
ou explicitamente
x=0, y=0, z=t

Resposta

Plano tangente:
z = 0
Reta normal (equação vetorial):
r(t) = (0,0,0) + t,(0,0,1)

Exercícios relacionados