3.7C Calcule a massa do sólido cortado da bola x^2+y^2+z^2 <= 4 pelo cilindro x^2+y^2=2 y, se a densidade no ponto P é proporcional à distâcia de P ao plano x y.

Passo 1

O enunciado pede a massa do sólido
V=(x,y,z)mid x^2+y^2+z^2<=4,;x^2+y^2<=2y
quando a densidade em P=(x,y,z) é proporcional à distância desse ponto ao plano xy. Essa distância é |z|, logo podemos escrever
de<a(x,y,z)=k,|z|,
onde k>0 é a constante de proporcionalidade. Vamos usar coordenadas cilíndricas (r,theta,z) e explorar a simetria em z.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x=rcostheta, y=rsintheta, x^2+y^2=r^2
A interseção com o cilindro x^2+y^2=2y vira
r^2=2rsinthetaLongrightarrow r=2sintheta(sintheta>=0)
Portanto a região projetada no plano xy é
0<=theta<=pi, 0<= r<=2sintheta
O intervalo de z dado pela bola r^2+z^2<=4 é
-raiz4-r^2<= z<=raiz4-r^2

Passo 3

Como a densidade envolve |z|, usamos a simetria em z para escrever a massa
m=integral triplaVde<a,dV = kintegral triplaV|z|,dV =2kintegral dupla(r,theta)l[integral0^raiz4-r^2z,dzr]r,dr,dtheta

Passo 4

Calculemos primeiro a integral em z:
integral0^raiz4-r^2z,dz =z^22|0^raiz4-r^2 =4-r^22
Logo
m=2kintegraltheta=0^piintegralr=0^2sintheta4-r^22;r,dr,dtheta = kintegral0^piintegral0^2sintheta(4-r^2),r,dr,dtheta

Passo 5

Agora a integral em r:
integral0^2sintheta(4r-r^3),dr =l[2r^2-tfracr^44r]0^2sintheta =2,(2sintheta)^2-(2sintheta)^44 =8sin^2theta-4sin^4theta
Assim
m=kintegral0^pil(8sin^2theta-4sin^4thetar),dtheta

Passo 6

Usamos as fórmulas padrão
integral0^pisin^2theta,dtheta=pi2, integral0^pisin^4theta,dtheta=3pi8
Logo
m=kl(8cdotpi2-4cdot3pi8r) =kl(4pi-tfrac3pi2r) =5pi2,k

Resposta

m=5pi2,k
Se tomarmos k=1 (densidade igual a |z|), então m=5pi2.

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