3.7C Calcule a massa do sólido cortado da bola
pelo cilindro
, se a densidade no ponto
é proporcional à distâcia de
ao plano
.
Passo 1
O enunciado pede a massa do sólido
quando a densidade em
é proporcional à distância desse ponto ao plano
. Essa distância é
, logo podemos escrever
onde
é a constante de proporcionalidade. Vamos usar coordenadas cilíndricas
e explorar a simetria em
.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas temos
A interseção com o cilindro
vira
Portanto a região projetada no plano
é
O intervalo de
dado pela bola
é
Passo 3
Como a densidade envolve
, usamos a simetria em
para escrever a massa
Passo 4
Calculemos primeiro a integral em
:
Logo
Passo 5
Agora a integral em
r :
Assim
Passo 6
Usamos as fórmulas padrão
Logo
Resposta
Se tomarmos
k=1 (densidade igual a
|z| ), então
m=5pi2 .