5.7C Quantas soluções da edo y^prime=1-y^2 passam pela origem? Quais são essas soluções?

Passo 1

O enunciado pede as funções y(x) que satisfazem a equação diferencial
y' = 1 - y^2
e que passam pelo ponto (0,0). Vamos usar separação de variáveis e também verificar possíveis soluções constantes (equilíbrios).

Passo 2

Procuramos soluções constantes, isto é, y(x)=y0 tal que
0 = y' = 1 - y0^2 implies y0^2 = 1 implies y0 = pm1
Essas soluções são y(x)=1 e y(x)=-1, mas nenhuma delas satisfaz y(0)=0. Logo, descartamos as constantes.

Passo 3

Para as demais soluções, fazemos separação de variáveis:
integral dy1 - y^2 = integral dx
Sabemos que integral dy1 - y^2 = arctanh(y). Assim,
arctanh(y) = x + C

Passo 4

Isolando y obtemos
y(x) = tanhl(x + Cr)
Impondo a condição y(0)=0
0 = tanh(C)implies C=0
Portanto a solução que passa pela origem é
y(x) = tanh(x)

Resposta

Há exatamente uma solução que passa pela origem:
y(x) = tanh(x)

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