Determine as assíntotas horizontais do gráfico de f(x)=raiz[4]x^4+42 x+1.

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas horizontais da função
f(x)=raiz[4]x^4+42x+1
Isso envolve calcular
limxto+inftyf(x)
e
limxto-inftyf(x).
Para isso vamos usar a ideia de fatorar raiz[4]x^4+4 em termos de lvert xrvert e depois dividir numerador e denominador pelo termo dominante em x.

Passo 2

Cálculo de limxto+inftyf(x):
Em primeiro lugar note que, para xto+infty, temos lvert xrvert=x, logo
raiz[4]x^4+4 =|x|raiz[4]1+4x^4 =xraiz[4]1+4x^4
Então
f(x) =xraiz[4]1+4x^42x+1 =x2x+1,raiz[4]1+4x^4
Agora dividimos numerador e denominador por x:
f(x) =12+1x, raiz[4]1+4x^4
Quando xto+infty, 1xto0 e 4x^4to0, então
limxto+inftyf(x) =12+0,raiz[4]1+0 =12

Passo 3

Cálculo de limxto-inftyf(x):
Para xto-infty, temos lvert xrvert=-x, então
raiz[4]x^4+4 =|x|raiz[4]1+4x^4 =-x,raiz[4]1+4x^4
Assim
f(x) =-x,raiz[4]1+4x^42x+1 =-x2x+1,raiz[4]1+4x^4 =-12+1x, raiz[4]1+4x^4
ao dividir por x. Para xto-infty, 1xto0 e 4x^4to0, então
limxto-inftyf(x) =-12+0,raiz[4]1+0 =-12

Passo 4

As assíntotas horizontais são as retas y=L onde L é cada um dos limites no infinito. Concluímos:
limxto+inftyf(x)=tfrac12 e limxto-inftyf(x)=-tfrac12

Resposta

As assíntotas horizontais são
y=12 e y=-12

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