Calcule as seguintes integrais
(1.2pt) integral0^raizpi / 2 x sin (x^2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^raizpi / 2 x sinl(x^2r),dx
O conteúdo principal aqui é usar substituição para reconhecer que dentro do seno temos x^2 e à frente aparece x,dx, o que sugere a mudança de variável u=x^2.

Passo 2

Fazemos a substituição u = x^2. Então
du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = du2
Os limites também mudam:
quando x=0, u=0^2=0;
quando x=raizpi/2, u=(raizpi/2)^2=pi/2.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
integral0^raizpi / 2 x sinl(x^2r),dx = integralu=0^u=pi/2 sin(u),du2 = 12integral0^pi/2sin(u),du
Agora basta achar a primitiva de sin(u).

Passo 4

Sabemos que
integral sin(u),du = -cos(u)
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12integral0^pi/2sin(u),du = 12l[-cos(u)r]0^pi/2 = 12l(-cos(tfracpi2) + cos(0)r)

Passo 5

Como cos(tfracpi2)=0 e cos(0)=1, obtemos
12l(-0 + 1r) = 12

Resposta

12

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