Exercício 6 (Desigualdade de Jensen - versão contínua em dimensão 1). Sejam
uma função integrável e
uma função convexa. Prove que
Obs. Lembre que se
é integrável e
é contínua, então
é integrável, mas a composta de funções integráveis pode não ser integrável.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas uma função integrável
e uma função convexa
, vale
Para isso vamos usar duas ideias principais: (i) que
convexa é contínua, logo
é integrável; (ii) a existência de uma reta de suporte (subgradiente) de
num ponto escolhido adequadamente.
Passo 2
Primeiro, como
é convexa em
, segue que
é contínua em todo ponto de
. Logo, sendo
integrável em
, a composição
também é integrável em
.
Passo 3
Definimos a média de
em
por
Pela propriedade de convexidade de
, existe uma reta de suporte em
: ou seja, existem constantes
tais que, para todo
,
Passo 4
Aplicamos essa desigualdade a
e integramos em
. Para todo
,
Integramos:
Dividindo por
,
Passo 5
Mas
. Portanto
o que é exatamente a desigualdade de Jensen no caso contínuo em dimensão 1.