Exercício 6 (Desigualdade de Jensen - versão contínua em dimensão 1). Sejam g:[a, b] longrightarrow R uma função integrável e f: R longrightarrow R uma função convexa. Prove que
f(1b-a integrala^b g(x) d x) <= 1b-a integrala^b f(g(x)) d x
Obs. Lembre que se g é integrável e f é contínua, então f circ g é integrável, mas a composta de funções integráveis pode não ser integrável.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas uma função integrável g:[a,b]toR e uma função convexa f:RtoR, vale
f!l(tfrac1b-a!integrala^b g(x),dxr);<=;tfrac1b-a!integrala^b fl(g(x)r),dx
Para isso vamos usar duas ideias principais: (i) que f convexa é contínua, logo fcirc g é integrável; (ii) a existência de uma reta de suporte (subgradiente) de f num ponto escolhido adequadamente.

Passo 2

Primeiro, como f é convexa em R, segue que f é contínua em todo ponto de R. Logo, sendo g integrável em [a,b], a composição fcirc g também é integrável em [a,b].

Passo 3

Definimos a média de g em [a,b] por
y0 ;=;1b-aintegrala^bg(x),dx
Pela propriedade de convexidade de f, existe uma reta de suporte em y0: ou seja, existem constantes m,kinR tais que, para todo tinR,
f(t);>=;k ;+;m,t, e f(y0) ;=;k ;+;m,y0

Passo 4

Aplicamos essa desigualdade a t=g(x) e integramos em [a,b]. Para todo xin[a,b],
fl(g(x)r);>=;k ;+;m,g(x)
Integramos:
integrala^bfl(g(x)r),dx ;>=; integrala^bl(k + m,g(x)r),dx = k,(b-a) ;+; mintegrala^bg(x),dx
Dividindo por (b-a),
1b-aintegrala^bfl(g(x)r),dx ;>=; k ;+; m,1b-aintegrala^bg(x),dx ;=; k + m,y0

Passo 5

Mas k + m,y0=f(y0). Portanto
1b-aintegrala^bfl(g(x)r),dx ;>=; f(y0) ;=; f!l(tfrac1b-a!integrala^bg(x),dxr),
o que é exatamente a desigualdade de Jensen no caso contínuo em dimensão 1.

Resposta

f!l(tfrac1b-a!integrala^bg(x),dxr) ;<=; tfrac1b-a!integrala^bfl(g(x)r),dx

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