5.7D Utilizando o Teorema de Existência e Unicidade, mostre que a função
é a única solução do p.v.i.:
Passo 1
O problema dá o valor inicial
e pede para usar o Teorema de Existência e Unicidade. O conteúdo é EDO de segunda ordem homogênea, mas o teorema vale para sistemas de primeira ordem. Vamos reescrever em sistema e verificar as hipóteses de existência e unicidade.
Passo 2
Defina
Então
com condições iniciais
Passo 3
O sistema pode ser escrito como
onde
As componentes de
são contínuas em
e têm derivadas parciais contínuas em
. Logo,
satisfaz a condição de Lipschitz em
em qualquer região fechada em
.
Passo 4
Pelo Teorema de Existência e Unicidade para sistemas de primeira ordem, existe uma e somente uma solução
que satisfaz as condições iniciais em torno de
. Observamos que
é uma solução do sistema e também satisfaz
,
. Pela unicidade, não há outra solução.
Resposta
A única solução do P.V.I. é