5.7D Utilizando o Teorema de Existência e Unicidade, mostre que a função y(x) equiv 0 é a única solução do p.v.i.:
l y^prime prime+e^x y^prime+(x+1) y=0 y(1)=0, y^prime(1)=0

Passo 1

O problema dá o valor inicial
y'' + e^x,y' + (x+1),y = 0, y(1)=0,;y'(1)=0,
e pede para usar o Teorema de Existência e Unicidade. O conteúdo é EDO de segunda ordem homogênea, mas o teorema vale para sistemas de primeira ordem. Vamos reescrever em sistema e verificar as hipóteses de existência e unicidade.

Passo 2

Defina
u1(x)=y(x), u2(x)=y'(x)
Então
u1' = u2, u2' = -e^x,u2 ;-;(x+1),u1,
com condições iniciais
u1(1)=0, u2(1)=0

Passo 3

O sistema pode ser escrito como
u' = fl(x, ur),
onde
fl(x,(u1,u2)r) = l(u2,;-e^x,u2-(x+1),u1r)
As componentes de f são contínuas em (x,u1,u2) e têm derivadas parciais contínuas em (u1,u2). Logo, f satisfaz a condição de Lipschitz em u em qualquer região fechada em (x,u1,u2).

Passo 4

Pelo Teorema de Existência e Unicidade para sistemas de primeira ordem, existe uma e somente uma solução u(x) que satisfaz as condições iniciais em torno de x=1. Observamos que
u1(x)equiv 0, u2(x)equiv 0
é uma solução do sistema e também satisfaz u1(1)=0, u2(1)=0. Pela unicidade, não há outra solução.

Resposta

A única solução do P.V.I. é
y(x)equiv 0

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