Seja 𝑊=𝐿({𝑔̃0, …, 𝑔̃𝑚}) o subespaço de ℝ𝑁 gerado por {𝑔̃0, …, 𝑔̃𝑚}. Mostre que 𝑎0, …., 𝑎𝑚∈ℝ são números reais tais que o erro 𝐸(𝑎0, …, 𝑎𝑚) é o menor possível se, e somente se, 𝑎0 𝑔̃0+…+𝑎𝑚 𝑔̃𝑚 é a projeção de 𝑓̃ em 𝑊.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W = L(tilde g0,dots,tilde gm)subsetR^N
e uma função erro
E(a0,dots,am) =|tilde f - sumi=0^mai,tilde gi|^2
Queremos mostrar que os escalares a0,dots,am minimizam E se, e somente se,
sumi=0^mai,tilde gi é a projeção ortogonal de tilde f em W.

Passo 2

Lembremos que, em espaços com produto interno, um vetor pin W é a projeção ortogonal de tilde f em W exatamente quando o resíduo
tilde r ;=;tilde f - p
é ortogonal a todo vetor de W. Como tilde g0,dots,tilde gm gera W, isso equivale a
lang<= tilde f - p,;tilde gjrang<= = 0 forall j=0,dots,m

Passo 3

Para achar o mínimo de E(a0,dots,am) fazemos derivadas parciais. Escreva
tilde r(a)=tilde f - sumi=0^m ai,tilde gi, E(a)=lang<= tilde r(a),,tilde r(a)rang<=
Então, para cada j,
partial Epartial aj =2,lang<= tilde r(a),,partial tilde rpartial ajrang<= =2,lang<= tilde r(a),,-tilde gjrang<= =-2,lang<= tilde f - sumiaitilde gi,;tilde gjrang<=
Zerando essa derivada, obtemos as equações normais
lang<= tilde f - sumi=0^m ai,tilde gi,;tilde gjrang<= = 0 forall j

Passo 4

As equações normais dizem exatamente que o resíduo tilde f - sumi aitilde gi é ortogonal a cada tilde gj e, portanto, a todo W. Logo
sumi=0^mai,tilde gi satisfaz a condição característica da projeção ortogonal de tilde f em W.

Passo 5

Reciprocamente, se pin W é tal que tilde f-p é ortogonal a W, então para p=sumi aitilde gi teríamos exatamente
partial E/partial aj=0 para todo j, mostrando que p é ponto crítico de E. Como E é quadrática definida positiva no espaço dos (ai), esse ponto crítico é o único mínimo global.

Resposta

Os coeficientes a0,dots,am minimizam
E(a0,dots,am)
se, e somente se,
sumi=0^mai,tilde gi = projW!(tilde f).

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