Seja 𝑊=𝐿({𝑔̃0, …, 𝑔̃𝑚}) o subespaço de ℝ𝑁 gerado por {𝑔̃0, …, 𝑔̃𝑚}. Mostre que 𝑎0, …., 𝑎𝑚∈ℝ são números reais tais que o erro 𝐸(𝑎0, …, 𝑎𝑚) é o menor possível se, e somente se, 𝑎0 𝑔̃0+…+𝑎𝑚 𝑔̃𝑚 é a projeção de 𝑓̃ em 𝑊.
Passo 1
O enunciado define o subespaço
e uma função erro
Queremos mostrar que os escalares a0,dots,am minimizam E se, e somente se, sumi=0^mai,tilde gi é a projeção ortogonal de tilde f em W.
Passo 2
Lembremos que, em espaços com produto interno, um vetor pin W é a projeção ortogonal de tilde f em W exatamente quando o resíduo
tilde r ;=;tilde f - p
é ortogonal a todo vetor de W. Como tilde g0,dots,tilde gm gera W, isso equivale a
lang<= tilde f - p,;tilde gjrang<= = 0 forall j=0,dots,m
Passo 3
Para achar o mínimo de E(a0,dots,am) fazemos derivadas parciais. Escreva
As equações normais dizem exatamente que o resíduo tilde f - sumi aitilde gi é ortogonal a cada tilde gj e, portanto, a todo W. Logo sumi=0^mai,tilde gi satisfaz a condição característica da projeção ortogonal de tilde f em W.
Passo 5
Reciprocamente, se pin W é tal que tilde f-p é ortogonal a W, então para p=sumi aitilde gi teríamos exatamente partial E/partial aj=0 para todo j, mostrando que p é ponto crítico de E. Como E é quadrática definida positiva no espaço dos (ai), esse ponto crítico é o único mínimo global.
Resposta
Os coeficientes a0,dots,am minimizam E(a0,dots,am)
se, e somente se, sumi=0^mai,tilde gi = projW!(tilde f).