1. (a) Use a definição de derivada para calcular f^prime(2), onde f(x)=raiz[3]x.
    (b) Seja f(x)=lx^2, se x <= 2, -2 x^2+6 x, se x>2
A reta que tangencia o gráfico da função y=f(x) em x=2 volta a tocá-lo em outro ponto. Determine-o.

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na (a) queremos usar a definição de derivada
para
e precisamos achar a reta tangente ao gráfico em (x=2] que toca o gráfico de novo em outro ponto.

Passo 2

Para (a) aplicamos a definição em a=2:
f'(2)=limhto0(2+h)^1/3-2^1/3h
Racionalizamos a diferença de raízes cúbicas usando
A^1/3-B^1/3=A-BA^2/3+A^1/3B^1/3+B^2/3,
com A=2+h e B=2. Isso dá
(2+h)^1/3-2^1/3h =hhl[(2+h)^2/3+(2+h)^1/32^1/3+2^2/3r] =1(2+h)^2/3+(2+h)^1/32^1/3+2^2/3
Fazendo hto0, cada termo com 2+h vira 2, então o denominador tende a
2^2/3+2^1/32^1/3+2^2/3=3cdot2^2/3,
logo
f'(2)=13,2^2/3

Passo 3

Para (b) primeiro achamos as derivadas unilaterais em x=2.
  • Se x<=2, f(x)=x^2 e
f'-(2)=ddxx^2g|x=2=2cdot2=4
  • Se x>2, f(x)=-2x^2+6x e
f'+(2)=(-4x+6)|x=2=-8+6=-2
Como a função não é diferenciável (as derivadas unilaterais são diferentes), há duas possíveis retas tangentes no ponto (2,f(2))=(2,4):
  1. Reta de inclinação 4:
y-4=4(x-2)Longrightarrow y=4x-4
  1. Reta de inclinação -2:
y-4=-2(x-2)Longrightarrow y=-2x+8

Passo 4

Agora verificamos em qual dessas retas há um segundo ponto de tangência, ou seja, outro ponto comum entre a reta e o gráfico de f.
  1. Para y=4x-4 com o ramo x^2 ( x<=2):
x^2=4x-4Longrightarrow(x-2)^2=0Longrightarrow x=2
(só o ponto já conhecido). Com o ramo -2x^2+6x ( x>2) aparece x=2 ou x=-1, mas ambos não satisfazem x>2. Logo não há segundo ponto.
  1. Para y=-2x+8 com o ramo x^2 ( x<=2):
x^2=-2x+8Longrightarrow x^2+2x-8=0Longrightarrow x=-4 ou x=2
Aqui x=-4 está em ,x<=2, e de fato f(-4)=(-4)^2=16 coincide com y=-2(-4)+8=16. No ramo x>2 só surge x=2.
Portanto a reta de declive -2 volta a tocar o gráfico em x=-4.

Resposta

O valor de f'(2) em (a) é
13,2^2/3
Em (b) a reta tangente escolhida é y=-2x+8 e o outro ponto de tangência é (-4,16).

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