- (a) Use a definição de derivada para calcular
, onde
.
(b) Seja
A reta que tangencia o gráfico da função
y=f(x) em
x=2 volta a tocá-lo em outro ponto. Determine-o.
(b) Seja
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Na (a) queremos usar a definição de derivada
para
e precisamos achar a reta tangente ao gráfico em (x=2] que toca o gráfico de novo em outro ponto.
Passo 2
Para (a) aplicamos a definição em
a=2 :
Racionalizamos a diferença de raízes cúbicas usando
com
A=2+h e
B=2 . Isso dá
Fazendo
hto0 , cada termo com
2+h vira
2 , então o denominador tende a
logo
Passo 3
Para (b) primeiro achamos as derivadas unilaterais em
x=2 .
- Se
,x<=2 ef(x)=x^2
- Se
,x>2 ef(x)=-2x^2+6x
Como a função não é diferenciável (as derivadas unilaterais são diferentes), há duas possíveis retas tangentes no ponto
(2,f(2))=(2,4) :
- Reta de inclinação
:4
- Reta de inclinação
:-2
Passo 4
Agora verificamos em qual dessas retas há um segundo ponto de tangência, ou seja, outro ponto comum entre a reta e o gráfico de
f .
- Para
com o ramoy=4x-4 (x^2 ):x<=2
(só o ponto já conhecido). Com o ramo
-2x^2+6x (
x>2 ) aparece
x=2 ou
x=-1 , mas ambos não satisfazem
x>2 . Logo não há segundo ponto.
- Para
com o ramoy=-2x+8 (x^2 ):x<=2
Aqui
x=-4 está em
,x<=2 , e de fato
f(-4)=(-4)^2=16 coincide com
y=-2(-4)+8=16 . No ramo
x>2 só surge
x=2 .
Portanto a reta de declive
-2 volta a tocar o gráfico em
x=-4 .
Resposta
O valor de
f'(2) em (a) é
Em (b) a reta tangente escolhida é
y=-2x+8 e o outro ponto de tangência é
(-4,16) .