3.7E Determine o centro de massa do hemisfério x^2+y^2+z^2 <= R^2, z >= 0, se a densidade volumétrica é sigma=k z.

Passo 1

O enunciado pede o centro de massa do hemisfério
x^2+y^2+z^2<= R^2, z>=0
com densidade volumétrica sigma=kz.
Por simetria em x e y, temos xcm=0 e ycm=0. Resta calcular
zcm=1M,integral tripla z,sigma,dV
onde
M=integral tripla sigma,dV
e usaremos coordenadas esféricas:
rin[0,R], thetain[0,pi/2], phiin[0,2pi], z=rcostheta, dV=r^2sintheta,dr,dtheta,dphi

Passo 2

Calcular a massa total
M = integral tripla sigma,dV = k ,integral tripla z,dV = kintegral0^2pi!!dphiintegral0^pi/2!!integral0^R (rcostheta),r^2sintheta,dr,dtheta,dphi
Integramos em r:
integral0^Rr^3dr = R^44,
em theta:
integral0^pi/2costhetasintheta,dtheta = 12,
e em phi:
integral0^2pidphi = 2pi
Logo
M = k,(2pi),12,R^44 = pi,k,R^44

Passo 3

Calcular o momento z-primeiro
integral tripla z,sigma,dV = k ,integral tripla z^2,dV = kintegral0^2pi!!dphiintegral0^pi/2!!integral0^R(rcostheta)^2,r^2sintheta,dr,dtheta,dphi
Em r:
integral0^Rr^4dr = R^55,
em theta:
integral0^pi/2cos^2thetasintheta,dtheta = integral1^0u^2(-du)(u=costheta) = integral0^1u^2du = 13,
e em phi: 2pi. Portanto
integral tripla z,sigma,dV = k,(2pi),13,R^55 = 2pi,k,R^515

Passo 4

Determinar
zcm = 1M,integral tripla z,sigma,dV = tfrac2pi,k,R^515tfracpi,k,R^44 = 2pi,k,R^515cdot4pi,k,R^4 = 815,R

Resposta

(xcm,ycm,zcm) = l(0,,0,,tfrac815Rr)

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