Resolva as seguintes desigualdades:
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a desigualdade racional
O conteúdo envolvido é estudo de desigualdades de frações, em que vamos usar fatoração, identificação de zeros e análise de sinal.
Passo 2
Fatoramos o numerador
:
portanto a desigualdade fica
Passo 3
Encontramos os pontos críticos onde cada fator muda de sinal ou a expressão é indefinida:
– Numerador zero em e
.
– Denominador zero (indefinição) em .
Esses três valores particionam a reta real em quatro intervalos.
– Numerador zero em
– Denominador zero (indefinição) em
Esses três valores particionam a reta real em quatro intervalos.
Passo 4
Agora avaliamos o sinal de cada fator em cada intervalo para determinar o sinal do quociente:
Em :
,
; além disso
. Logo o quociente é negativo, satisfaz
.
Em :
e
quociente positivo, não satisfaz.
Em :
e
quociente negativo, satisfaz.
Em : todos os fatores positivos
quociente positivo, não satisfaz.
Além disso, em e
a expressão vale zero (numerador zero, denominador não nulo) e deve ser incluída; em
a expressão não existe e deve ser excluída.
Em
Em
Em
Em
Além disso, em
Passo 5
Unindo as partes que satisfazem a desigualdade e considerando inclusões/exclusões, obtemos