Resolva as seguintes desigualdades:
(c) x^2-9x+1 <= 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade racional
x^2 - 9x+1 <= 0
O conteúdo envolvido é estudo de desigualdades de frações, em que vamos usar fatoração, identificação de zeros e análise de sinal.

Passo 2

Fatoramos o numerador x^2-9:
x^2-9 = (x-3)(x+3),
portanto a desigualdade fica
(x-3)(x+3)x+1 <= 0

Passo 3

Encontramos os pontos críticos onde cada fator muda de sinal ou a expressão é indefinida:
– Numerador zero em x=-3 e x=3.
– Denominador zero (indefinição) em x=-1.
Esses três valores particionam a reta real em quatro intervalos.

Passo 4

Agora avaliamos o sinal de cada fator em cada intervalo para determinar o sinal do quociente:
Em (-infty,-3): x-3<0, x+3<0 Rightarrow (x-3)(x+3)>0; além disso x+1<0. Logo o quociente é negativo, satisfaz <=0.
Em (-3,-1): (x-3)(x+3)<0 e x+1<0 Rightarrow quociente positivo, não satisfaz.
Em (-1,3): (x-3)(x+3)<0 e x+1>0 Rightarrow quociente negativo, satisfaz.
Em (3,infty): todos os fatores positivos Rightarrow quociente positivo, não satisfaz.
Além disso, em x=-3 e x=3 a expressão vale zero (numerador zero, denominador não nulo) e deve ser incluída; em x=-1 a expressão não existe e deve ser excluída.

Passo 5

Unindo as partes que satisfazem a desigualdade e considerando inclusões/exclusões, obtemos
(-infty,-3];cup;(-1,3]

Resposta

(-infty,-3]cup(-1,3]

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