3.7F Calcule o momento de inércia em relação ao seu eixo de um cilindro circular reto de altura H e raio R, se a densidade sigma no ponto (x, y, z) é sigma(x, y, z)=k raizx^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia de um cilindro circular reto de raio R e altura H em relação ao seu eixo (eixo z), sabendo que a densidade volumétrica é
sigma(x,y,z)=kraizx^2+y^2=k,r
O conteúdo aqui é usar coordenadas cilíndricas e a definição
I=integralVr^2,dm,
com dm=sigma,dV.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas (r,theta,z) temos
dV=r,dr,dtheta,dz, dm=sigma,dV = k,r cdot r,dr,dtheta,dz = k,r^2,dr,dtheta,dz
O integrando para o momento de inércia é r^2,dm, então
I =integral0^H!integral0^2pi!integral0^Rr^2l(k,r^2r),dr,dtheta,dz = kintegral0^H!integral0^2pi!integral0^Rr^4,dr,dtheta,dz

Passo 3

Calculando a integral em r, theta e z:
integral0^Rr^4,dr=R^55, integral0^2pidtheta=2pi, integral0^Hdz=H
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I = kcdot Hcdot 2picdotR^55 = 2pi k H R^55

Passo 4

Se quisermos escrever em termos da massa total M, calculamos
M=integralVsigma,dV = kintegral0^H!integral0^2pi!integral0^Rr^2,dr,dtheta,dz = kcdot Hcdot2picdotR^33 = 2pi k H R^33

Passo 5

Isolando k em função de M e substituindo em I:
k=3M2pi H R^3 Longrightarrow I=2pi H R^55cdot3M2pi H R^3 =35M,R^2

Resposta

I=2pi k H R^55 ou, em função da massa M, I=35M,R^2 çã

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